Resolución de ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace

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La transformada de Laplace constituye un método excelente para la resolución de ecuaciones diferenciales, en concreto, las de coeficientes constantes. A modo de resumen podemos describir el procedimiento del método de resolución de ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace en: aplicar la transformada de Laplace a la ecuación diferencial obteniendo así una ecuación algebraica en el espacio de Laplace; resolvemos dicha ecuación algebraica para posteriormente aplicarle a la solución de la misma la transformada inversa de Laplace, obteniendo así la solución de la ecuación diferencial inicial.

Pierre Simon marquis de Laplace 1745 1827 Guérin
Pierre-Simon Laplace (1745-1827). Fuente: Wikipedia

Conocimientos previos 

Para poder estudiar la resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace es necesario tener ciertos conocimientos previos; los voy a listar y más adelante cuando se explique el método se entenderá su necesario dominio. En cada elemento de la lista se incluye un vínculo con dichas explicaciones por si necesitas dar un repaso, ya que todo lo hemos explicado en artículos anteriores.

Los conocimientos previos que debemos tener para poder aprender correctamente a resolver ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace son:

  • La transformada de Laplace: dada una función determinada, calcular su transformada de Laplace correctamente.
  • La transformada inversa de Laplace: dada una función en el espacio de Laplace, calcular la función que la origina.
  • Descomposición de una fracción en fracciones simples irreductibles: dada una función polinómica en el espacio de Laplace, la descomponemos en fracciones más simples para que sea posteriormente más fácil calcular su transformadas inversa de Laplace. Los que han estudiado la transformada inversa de Laplace saben que deben dominar perfectamente este tipo de cálculos pues, en no pocas ocasiones, suele ser un paso casi obligatorio para poder calcular dicha transformada inversa de Laplace.

Tipos de ecuaciones diferenciales apropiadas para resolverlas por la transforma de Laplace

La transformada de Laplace es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales lineales, especialmente aquellas con coeficientes constantes. Se utiliza principalmente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) y ecuaciones en derivadas parciales (EDPs). A continuación, se mencionan algunos tipos de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver fácilmente utilizando la transformada de Laplace:

  • Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes: Las EDOs en las que los coeficientes de las derivadas no dependen de la variable independiente y son constantes se pueden resolver eficientemente mediante la transformada de Laplace. Ejemplos incluyen la ecuación lineal de segundo orden para un circuito eléctrico o una ecuación lineal de primer orden con coeficientes constantes.
  • Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas: Las ecuaciones diferenciales en las que todos los términos están en el lado izquierdo de la igualdad y suman cero se pueden resolver de manera más sencilla mediante la transformada de Laplace.
  • Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con términos constantes: Incluso si hay términos no homogéneos en la ecuación, como una función constante o una función sinusoidal en el lado derecho de la igualdad, la transformada de Laplace puede ayudar a resolverlas eficazmente.
  • Ecuaciones integrales y ecuaciones con condiciones iniciales o de contorno: La transformada de Laplace también se utiliza para resolver ecuaciones integrales y ecuaciones con condiciones iniciales o de contorno. Puede transformar estas ecuaciones en problemas más simples en el dominio de Laplace, donde la solución se encuentra con mayor facilidad.
  • Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: La transformada de Laplace se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales acopladas, lo que puede ser complicado de abordar directamente en el dominio del tiempo.
  • Ecuaciones en derivadas parciales lineales con coeficientes constantes: En el contexto de ecuaciones en derivadas parciales, la transformada de Laplace se puede utilizar para resolver ecuaciones lineales con coeficientes constantes, como la ecuación de difusión o la ecuación de onda.

Es importante tener en cuenta que la transformada de Laplace es especialmente útil para resolver ecuaciones lineales, y su aplicabilidad puede ser limitada en casos de ecuaciones no lineales o con coeficientes variables. Además, la elección de usar la transformada de Laplace dependerá de la complejidad de la ecuación y de las condiciones del problema específico.

El método de resolución de las ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace

El método va a constar de varios pasos; siempre son los mismos, lo que cambia es la ecuación diferencial a resolver, por lo tanto, hay poco lugar para la creatividad en este tipo de cálculos. Los pasos del método son los siguientes:

▷Paso 1º: calcular la transformada de Laplace de toda la ecuación diferencial 

Aplicamos la transformada de Laplace a toda la ecuación diferencial. Aquí se pone de manifiesto el primer punto de conocimientos previos que expuse al principio del artículo. Hay que prestar especial atención a la transformada de Laplace de la derivada de la función. En las vídeo clases que se exponen más adelante en este artículo solemos usar la transformada de Laplace para la primera y segunda derivada que son las siguientes:

\mathcal{L}\left\{f^{\prime}(t)\right\}=s \mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)

\mathcal{L}\left\{f^{\prime \prime}(t)\right\}=s^2 \mathcal{L}\{f(t)\}-s f(0)-f^{\prime}(0)

 

En general, la transformada de Laplace de la derivada de orden n de una función f(t) es:

\mathcal{L}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^n \mathcal{L}\{f(t)\}-s^{n-1} f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0)

Tal y como podemos observar en las expresiones (1), (2) y (3), de la transformada de Laplace de la derivada de una función, vamos a necesitar las condiciones iniciales de nuestra función f(t); necesitaremos tantas como sea el grado de nuestra ecuación diferencial. Por ejemplo, para una ecuación diferencial de segundo orden necesitaremos dos condiciones iniciales que serán: el valor de la función y su derivada en el instante inicial ó t=0.

f(0)

f^{\prime}(0)

Si tuviésemos una ecuación diferencial de tercer orden necesitaríamos tres condiciones iniciales: el valor de la función (4), su primera derivada (5)  y la segunda derivada, las tres evaluadas en t=0

(1)   \begin{equation*} f^{\prime\prime}(0) \end{equation*}

▷Paso 2: resolver la ecuación algebraica en el espacio de Laplace

Después de hacer el paso 1 nos encontramos con una ecuación algebraica donde la incógnita es F(s), siendo \mathcal{L}[f(t)] \equiv F(s); ahora lo que tenemos que hacer es despejar F(s). Este segundo paso es hacer simple operaciones algebraicas.

 

▷Paso 3: aplicar la transformada inversa de Laplace a F(s)

Tomamos la solución F(s) de la ecuación algebraica del paso anterior y le aplicamos la transformada inversa de Laplace obteniendo así la solución f(t) de nuestra ecuación diferencial. En este último paso es donde es muy posible que haya que utilizar la descomposición de fracciones algebraicas en fracciones simples irreductibles; el motivo es que la solución de la ecuación algebraica del paso anterior, F(s), suele ser una fracción algebraica en el espacio s de Laplace; para poder encontrar su transformada inversa suele ser necesario descomponer esa fracción en otras simples; de esta manera la transformada inversa de Laplace de la fracción primera será la suma (o resta) de las fracciones parciales simples obtenidas, siendo estas últimas transformadas inversas mucho más fáciles de calcular.

Notación en este tipo de ejercicios de ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace

En este artículo hemos seguido la notación que se usó en las clases de la transformada de Laplace y su inversa, sin embargo, el uso de ésta en la resolución de las ecuaciones diferenciales suele ser distinta; por ese motivo voy a explicar otra notación alternativa, que es precisamente la que se usa en las clases que encontrarás aquí y la más común cuando se trata de resolver ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace.

Supongamos la siguiente ecuación diferencial que vamos a resolver por la transformada de Laplace:

y^{\prime \prime}+9 y=18 t \quad y^{\prime}(0)=0

podemos observar dicha ecuación diferencial de segundo orden con sus dos condiciones iniciales que son parte de los datos del problema. En esta ecuación diferencial tenemos que calcular y(t); es precisamente esta y(t) a lo que en la notación anterior hemos llamado f(t). Extendiendo esta notación obtenemos que :

(2)   \begin{equation*}\mathcal{L}\left\{y(t)\right\}=Y(s)\end{equation*}

En la ecuación algebraica en el espacio de Laplace que obtenemos en el paso 2 descrito anteriormente, tendremos una ecuación algebraica donde la incógnita es Y(s) en vez de F(s).

En resumidas cuentas, esta notación más usada para estos menesteres los que hace es cambiar la f por y y F(s) por Y(s).

Clase práctica de resolución de ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace

 

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Ecuación diferencial resuelta por la transformada de Laplace
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