La función exponencial natural

La función exponencial natural

La función exponencial natural g(x)=e^{f(x)}, donde f(x) es cualquier función, es la expresión más general de dicha función, conocida normalmente como función exponencial (usaremos siempre esta denominación). Nosotros nos vamos a centrar en el caso más común que es aquel en el que la función exponente f(x) es una función polinómica; de esta manera, las funciones a las que nos vamos a referir en esta lección son, por ejemplo: e^{x^{2}}, e^{x-1}, e^{x(x+1)}. Estos casos particulares de funciones exponenciales son las que con más frecuencia nos encontraremos en los ejercicios de cálculo y por ello vamos a explicar sus aspectos más destacados incidiendo en aquellos donde los alumnos suelen cometer más errores.

¿Qué es el número e? El número de Euler o constante de Napier.

Aunque pudiera parecer una pregunta bastante trivial, son muchos alumnos los que me preguntan a menudo: ¿qué es ese e? Este número e es un número irracional extremadamente importante y recibe el nombre de número de Euler, aunque también se le conoce como constante de Napier. En esta lección usaré el nombre de número de Euler, personalmente me parece más adecuado y es el que más ampliamente se usa en la bibliografía existente.

El número de Euler tiene un valor aproximado de 2,7182. Ha de tenerse en cuenta que al ser un número irracional la cantidad de cifras decimales es infinita. En los manuales de cálculo no suele usarse su valor numérico, salvo que sea estrictamente necesario, y de usarse no se extiende a más de cuatro decimales. En casi la totalidad de los casos se expresa el resultado en función del número de Euler y obtendremos resultados como: \frac{e}{2}, 4 e, 5 e^{2},etc. Lo mismo ocurre con otros números como \pi o el número áureo(\Phi).

Los 10000 primeros decimales del número e. Base de la función exponencial natural.

Los 10000 primeros decimales del número e. Base de la función exponencial natural. Imagen tomada de Wikipedia.

Aspectos más importantes de la función exponencial natural

▷La función exponencial nunca es nula

Este aspecto de la función exponencial es muy importante a la vez que desconocida entre los alumnos. La función exponencial nunca será nula, sea cual sea la función f(x) a la que está elevada.

e^{f(x)} \neq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}

Además del aspecto puramente teórico de lo que acabamos de expresar hay una vertiente eminentemente práctica que facilita muchísimo la resolución de ecuaciones en las que se ve inmersa nuestra función exponencial. Veamos un ejemplo para entenderlo mucho mejor. Tenemos la siguiente expresión: (x-3) \cdot e^{\left(x^{2}+1\right)} y queremos calcular los valores de nuestra variable x que hacen cero dicha expresión, es decir, queremos calcular las raíces de la siguiente ecuación:

(x-3) \cdot e^{\left(x^{2}+1\right)}=0

Sabemos que la función exponencial no puede ser nula nunca

e^{\left(x^{2}+1\right)} \neq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}

entonces los valores de x que verificarán nuestra ecuación (x-3) \cdot e^{\left(x^{2}+1\right)}=0 vendrán dados por (x-3)=0. Esto es así porque como tenemos un producto de dos factores; e^{\left(x^{2}+1\right)} por un lado y (x-3) por otro, la única forma de que se verifique la igualdad es que el segundo término (x-3) sea igual a cero, llegando así a la solución de nuestra ecuación inicial: sólo x=3 es solución. Aparentemente parecía muy difícil, sobre todo por la presencia de la función exponencial pero después hemos comprobado que lejos de hacerla difícil la ecuación ha quedado mucho más fácil de lo que parecía inicialmente.

▷La función exponencial natural siempre es positiva

Aunque este aspecto podríamos haberlo incluido en el anterior he considerado oportuno separarlo para darle más visibilidad. La función exponencial siempre será positiva sea cual sea el valor del exponente; esto va a tener una consecuencia a nivel gráfico, o, mejor dicho, a la hora de graficar cualquiera de estas funciones: la función siempre estará en los cuadrantes del plano cartesiano donde los valores de la misma son positivos (eje positivo de ordenadas), en concreto, el primer y segundo cuadrante.

Veamos con un ejemplo otra particularidad de que la función exponencial sea siempre positiva. Supongamos que tenemos una función y la derivamos para calcular sus extremos relativos, de esta manera identificaremos los intervalos donde la función es creciente o decreciente. Para este estudio tenemos que ver si la función derivada es positiva o negativa en cada intervalo, si es positiva la función será creciente y decreciente en caso contrario. Imagina que nuestra derivada es la función que tomamos en el primer aspecto estudiado:

f^{\prime}(x)=e^{x^{2}+1} \cdot(x-3)

Igualamos a cero y calculamos los extremos relativos:

f^{\prime}(x)=e^{x^{2}+1} \cdot(x-3)=0

De donde obtenemos la solución x=3 que será nuestro extremo relativo. Ahora debemos estudiar el signo de dicha función derivada en dos regiones, (-\infty, 3) y (3,+\infty). Para estudiar el signo de la primera derivada debemos tener en cuenta que, al ser nuestra función exponencial siempre positiva, dicho término de la primera derivada es transparente para el signo, es decir, no afecta al signo de la función ya que siempre es positivo, quedando de esta manera que el signo de la primera derivada sólo dependerá del término (X-3); donde dicho término sea positivo la primera derivada será positiva y por tanto la función creciente, donde sea negativa también lo será toda la primera derivada y por tanto decreciente.

\operatorname{signo} ~ e^{\left(x^{2}+1\right)} \cdot(x+3)=\operatorname{signo} ~ (x+3)

▷La función exponencial natural elevada a cero es 1

Realmente este aspecto no es exclusivo de esta función. Cualquier número, expresión o función que esté elevado a cero es 1, es una propiedad básica de las potencias que tiene poco que explicar y que presupongo que ya conoces, al menos, desde ahora que te lo he recordado. Seré un poco pesado porque así se aprende mejor. Supongamos que tenemos la función:

e^{\left(x^{2}-1\right)}=1

Queremos calcular la ecuación anterior. La forma de hacerlo es bien sencilla después de recordar la propiedad de las potencias del párrafo anterior. Para que se cumpla dicha igual a 1 el exponente de nuestra función exponencial debe ser 0.

(x^2-1)=0 ,de donde obtenemos que: x=-1 y x=1.

Ha sido fácil pero mi experiencia docente me indica que son muchas veces las que los alumnos no saben cómo solucionar la ecuación anterior. Espero que después de leer todo este artículo esa duda desaparezca para siempre y no se cometan más errores en el uso de la función exponencial natural.

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