Teoría de la probabilidad (1ª parte). Definiciones básicas

Teoría de la probabilidad (1ª parte). Definiciones básicas

A la hora de estudiar la Teoría de la probabilidad el estudiante se encuentra con una extensa bibliografía que suele sobrepasar los conocimientos que éste necesita. El objetivo de este primer artículo, y de los siguientes sobre este tema, pretende condensar los conocimientos necesarios de un curso estándar sobre la Teoría de la probabilidad de cualquier titulación universitaria. Espero que cumpla tus expectativas. ¡Comenzamos!

Fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios

Es importante saber diferenciarlos y tener una clara idea de en qué consiste cada uno. Los fenómenos deterministas son aquellos en los que se conoce de antemano el resultado final, no hay lugar a dudas. Los fenómenos aleatorios son aquellos en los que desconocemos el resultado final debido a que hay varias posibilidades; no sabemos si el final será uno u otro de entre una variedad que puede ser desde pequeña a enorme. De fenómeno aleatorio tenemos el clásico ejemplo del lanzamiento de un dado de seis caras, tenemos seis posibles resultados finales y desconocemos cuál de ellos será el que ocurrirá.

La Teoría de la probabilidad nos proporciona herramientas para estudiar el comportamiento de los fenómenos aleatorios y ofrecernos una medida de la incertidumbre ligada a estos sucesos evaluándola numéricamente, es decir, ofrecernos para cada resultado final un valor numérico que nos mida si es más o menos probable que otro. Lo que hacemos es cuantificar la incertidumbre asociada a los posibles resultados finales.

Conceptos básicos de la Teoría de la probabilidad

Suponemos que realizamos un experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado de seis caras y ver que cara obtenemos.

Teoría de la probabilidad. Los dados de seis caras son un clásico experimento aleatorio. Fuente: Wikipedia

Teoría de la probabilidad. Los dados de seis caras son un clásico experimento aleatorio. Fuente: Wikipedia

Definición de suceso elemental

Se define un suceso elemental a cada uno de los resultados posibles de nuestro experimento aleatorio; por ejemplo: llamamos 5 al suceso que salga una cara con número 5; llamamos 3 al suceso que salga la cara marcada con un 3.

Definición de espacio muestral \Omega

Se define el espacio muestral, \Omega, como el conjunto de todos los resultados posibles de nuestro experimento aleatorio. En nuestro experimento aleatorio, el lanzamiento de un dado de seis caras, sería: \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}. El espacio muestral siempre se escribe con todos los posibles resultados finales entre llaves como en la expresión anterior.

Veamos algunos ejemplos más para ver cómo definir y escribir correctamente nuestro espacio muestral en función del tipo de experimento aleatorio que estemos estudiando.

  • Supongamos el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire, los resultados finales son: C= sacar ~ cara, += sacar ~cruz. Nuestro espacio muestral estaría definido por sus situaciones finales y nos quedaría lo siguiente: \Omega=\{C,+\}
  • Supongamos el experimento de lanzar dos dados de seis caras al aire; vamos a representar por el número de cada cara el suceso de que salga esa misma cara. El suceso (1,3) significa que el primer dado ha sacado un 1 y el segundo un 3. El espacio muestral nos quedaría: \begin{aligned} \Omega &=\{(1,1),(1,2), \ldots,(1,6), \ldots,(6,1), \ldots,(6,6)\} \\ &=\{(a, b): a, b \in\{1,2,3,4,5,6\}\} \end{aligned}, la segunda parte de la igualdad es la forma generaliza de escribirlo, es decir, un par de números a y b escritos como (a,b) donde ambos pueden tomar valores del 1 al 6. Cualquiera de las dos formas es totalmente válida, aunque la segunda es más corta.

Definición de suceso 

Es un resultado final que estará compuesto por más de un resultado posible, es decir, por más de un suceso elemental; por ejemplo, el suceso PAR que será aquel en el que la cara del dado que salga está marcada con un número par, este suceso está compuesto por los resultados elementales PAR=\{2,4,6\}. Análogamente podríamos definir el suceso IMPAR compuesto por los sucesos elementales IMPAR=\{1,3,5\}. Nótese que estos sucesos compuestos, aunque el adjetivo compuesto suele omitirse siempre, tienen una representación idéntica a la del espacio muestral, con los resultados posibles metidos entre llaves. 

Definición de suceso seguro

Es aquel que tenemos la certeza de que va a salir, se suele representar con la misma letra que se representa el espacio muestral, \Omega, en nuestro caso. Si tiramos el dado, el suceso \Omega es que salga alguna de las seis caras de este al lanzarlo y eso es lógico que siempre va a ocurrir. Imposible fallar.

Definición de suceso imposible \emptyset

Es aquel que nunca ocurrirá; por ejemplo, en nuestro caso del dado de seis caras el suceso 7, que será aquel en el que el dado cae con una cara con el 7 marcado. Si nuestro dado sólo tiene seis caras es obvio que ese suceso nunca ocurrirá.

Definición del suceso opuesto o contrario al suceso A, (\bar{A})

Supongamos que tenemos un suceso A, se define el suceso opuesto o contrario a A, y se escribe como \bar{A} o A^{c}, a todos aquellos sucesos que no forman parte de A. Vamos a verlo con un ejemplo de nuestro experimento aleatorio del dado de seis caras.

Si definimos el suceso PAR como que salga un número par al lanzar el dado tendremos que nuestro suceso contempla los siguientes resultados finales del experimento:

PAR=\{2,4,6\}

el suceso opuesto será: 

    \[\overline{P A R}=\{1,3,5\}\]

es decir, todos los resultados finales que no son el suceso PAR.

Si ahora tenemos el suceso 4 como salir la cara 4 de nuestro dado, el suceso contrario sería:

    \[\overline{4}=\{1,2,3,5,6\}\]

 

Hasta aquí este primer aporte sobre la Teoría de la probabilidad, en el siguiente artículo de la Teoría de la probabilidad trataremos el Álgebra de sucesos. No te lo pierdas. 

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