Series de Fourier

Conceptos a tratar: Series de Fourier de una función, funciones periódicas, coeficientes de Fourier, sumas parciales de Fourier.

¿Para qué se usan las Series de Fourier?

Quizá sea un muy buen comienzo explicar al alumno para qué se usan las famosas y temidas Series de Fourier, para  que de esta manera entienda la utilidad que tiene esta materia en el desarrollo de la ciencia y de la tecnología. En ciencias como la Física, se utilizan, básicamente, para analizar funciones que son periódicas; analizamos su correspondiente Serie de Fourier, que no es mas que una descomposición de la función original en una suma infinita de funciones elementales en senos y cosenos que tienen frecuencias múltiplos de la señal inicial. En ingeniería se usan en óptica, acústica, procesamiento de señales (audio, vídeo o simplemente imágenes), estudio de vibraciones y perturbaciones de sistemas, etc…

Series de Fourier

Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768, 16 de mayo de 1830). Matemático Francés.

Definición y algoritmo de cálculo de la Serie de Fourier

Sea f(x) una función de una variable real. Supongamos que dicha función es integrable en un determinado intervalo de longitud T. Se define la serie de Fourier de  f(x) como:

f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos \left( nwx\right) +b_{n}\sin \left( nwx\right) \right)

donde:          \omega =\dfrac {2\pi }{T}  es la frecuencia fundamental .

Se llaman Coeficientes de Fourier a: a_{0},a_{n},b_{n}. Hay que tener en cuenta que tanto a_{n} como b_{n} hacen referencia a infinitos términos ya que como se ve en la expresión de la Serie de Fourier el sumatorio va desde 1 hasta n.

Parece obvio que una vez conozcamos los coeficientes de Fourier ya estaremos en disposición de poder construir la serie de Fourier de la función f(x).

Notas a tener en cuenta de las Series de Fourier:

  • La Serie de Fourier de f(x)  converge a f(x) dentro del intervalo de longitud T. Fuera de este intervalo la Serie de Fourier no converge a f(x) y lo que nos queda son periodos de la Serie de Fourier de f(x) que existe dentro de dicho intervalo.
  • Si la función f(x) tiene un periodo T igual a la longitud del intervalo donde estamos expandiendo la Serie de Fourier obtendremos que la Serie de Fourier de f(x) converge a la función f(x) en todo su dominio y podemos decir, de forma precisa, que se trata de la Serie de Fourier de f(x) sin tener que especificar ningún intervalo.

Se definen la Sumas Parciales de la Serie de Fourier f(x) en el intervalo T o simplemente la Serie de Fourier de f(x), si la función tiene periodo T, como:

S_{k}\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+\sum ^{k}_{n=1}\left( a_{n}\cos \left( n\omega x\right) +b_{n}\sin \left( nwx\right) \right)

Nótese que la diferencia con la expresión inicial es que el sumatorio sólo llega hasta k. Así nos quedará para el caso concreto de S_{2}\left( x\right):

S_{2}\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+a_{1}\cos \left( 1wx\right) +b_{1}\sin \left( 1\omega x\right) +a_{2}\cos \left( 2\omega x\right)

A los dos sumandos a_{1}\cos \left( 1\omega x\right) +b_{1}\sin \left( 1wx\right) se les suele denominador primer armónico. Análogamente a los dos sumandos de subíndice 2 se les llama segundo armónico y así sucesivamente con cada dos sumandos del mismo subíndice.

Bibliografía usada por el autor para el curso

  • Series y Transformada de Fourier para Señales Continuas y Discretas en el Tiempo: Algoritmos para el desarrollo de ejercicios prácticos
    Javier Enrique González Barajas
    OmniaScience, 6 oct. 2015 – 102 páginas
  • Introducción a las series e integrales de Fourier
    Robert T. Seeley
    Reverte, 2004 – 104 páginas

Material adicional creado por el autor del curso

Como  podréis ver, a lo largo del curso que se desarrolla en los vídeos, una de las mayores dificultades con las que os vais a encontrar al resolver los ejercicios es cuando tenéis que calcular las integrales necesarias para determinar los Coeficientes de Fourier. Para intentar ayudaros a tal fin he recopilado las integrales que con más frecuencia aparecen en los ejercicios y os las presento resueltas de forma genérica, así sólo tenéis que sustituir y listo, en las videoclases cuando resolvamos los ejercicios veréis lo cómodo que es usarlas.  En el archivo PDF que podéis descargar clicando en el siguiente icono tenéis dicho formulario.

Esta serie de vídeoclases aún está incompleta. A lo largo de las próximas semanas se irán añadiendo más vídeoclases. Cuando desaparezca este mensaje el curso estará completo.

A continuación tienes todos los vídeos con las explicaciones anteriormente comentadas. Te animo a que te suscribas al canal de YouTube y a que dejes en los comentarios tus impresiones o cualquier duda que te surja, tanto yo como todos los que vean los vídeos trataremos de ayudarte.

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