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Distribución de Poisson y fenómenos raros

La distribución de Poisson y los fenómenos raros

Partimos de la distribución binomial; en este modelo de probabilidad se pueden contar tanto el número de ocurrencias (sucesos) como el de no ocurrencias (suceso opuesto). Consideremos el ejemplo de una bolsa con bolas blancas y negras, si nuestro suceso (ocurrencia) a estudiar es sacar una bola negra, su opuesto (no ocurrencia) sería sacar una bola blanca. Además, hay un tope en el número de ocurrencias que en el caso anterior sería el número total de bolas que tenemos en la bolsa.

Sin embargo, existen situaciones donde la distribución binomial no es aplicable. Estas situaciones son aquellas que ocurren por unidad de tiempo, superficie, volumen, etc. Un ejemplo de ello sería el número de visitas que recibe una web por día, no tenemos un tope de ocurrencias o visitas diarias y no existe la no ocurrencia ya que no tiene sentido contar el número de veces que no se accede a esa web. Otro ejemplo muy fácil de entender sería el del número de mails que recibes por día, al igual que en el ejemplo anterior no tenemos ni tope máximo de ocurrencias ni tampoco la no ocurrencia, es decir, el poder contar los mails que no te han sido enviados. Para el caso de ocurrencias por unidad de superficie podríamos mencionar el número de baches que hay en una carretera determinada por kilómetro.

Ejemplos de distribución de Poisson
Ejemplos de representaciones gráficas de la distribución de Poisson

En 1837 el matemático Siméon Poisson estudió como modificar la distribución binomial para adaptarla a estos casos que he mencionado anteriormente. Como ya hemos explicado en otra entrada de esta web, encontró que podía expresar la probabilidad de este tipo de sucesos usando para ello el número medio de ocurrencias \lambda. La formula que nos permite calcular la probabilidad de x-ocurrencias donde el número medio de la misma es \lambda :

P(x)=e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^{x}}{x !}

Imaginemos que tenemos una web que recibe 100 visitas al día de promedio, la probabilidad de que reciba 80 visitas sería:

\begin{array}{c} P[x=80]= e^{-100}\cdot \frac{100^{80}}{80 } \end{array}

Si quisiéramos calcular la probabilidad de que reciba menos de 30 visitas diarias tendríamos:

\begin{aligned} P[X<30] &=P[x=0]+P[x=1]+\cdots+P[x=29]=\\ &=\sum_{i=0}^{29} e^{-100} \cdot \frac{100^{i}}{i !} \end{aligned}

Hay que tener en cuenta que nuestra variable aleatoria sería el número de visitas que recibe una web y la probabilidad de que reciba menos de 30 sería la suma de probabilidades de que reciba 0,1,2… y así hasta 29. No incluimos el 30 porque he exigido menos de 30 visitas diarias; si hubiese dicho hasta 30 si incluiría la probabilidad de 30.

La asociación de la distribución de Poisson a los fenómenos raros

En 1898 el economista y estadístico ruso Ladislaus Bortkiewicz publicó un estudio en el que mostraba que la distribución de Poisson podía ser usada para predecir probabilidades de fenómenos aleatorios extraños o raros. En dicho estudio analizó los datos de suicidios y muertes accidentales en diversas situaciones.

Ladislaus Bortkiewicz haría un gran aporte a la distribución de Poisson asociándola a fenómenos raros
Ladislaus Bortkiewicz haría un gran aporte a la distribución de Poisson asociándola a fenómenos raros

Bortkiewicz pudo demostrar lo bien que se ajustaba la distribución de Poisson a los datos reales, mostrando que era todo un acierto estudiar dichos fenómenos e intentar predecir y estimar probabilidades de ocurrencia usándola. El caso más famoso de dicho estudio fue el de las muertes por coz de caballo en los 14 cuerpos del ejército prusiano durante un periodo de 20 años. En la siguiente tabla te muestro los datos reales y los predichos por Bortkiewicz usando la distribución de Poisson. Se puede observar lo acertado del ajuste.

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \begin{array}{c} \text { Número de muertos } \\ \text { por coz de caballo } \end{array} & \begin{array}{c} \text { Frecuencia } \\ \text { observada } \end{array} & \begin{array}{c} \text { Frecuencia } \\ \text { teórica } \end{array} \\ \hline 0 & 144 & 139 \\ \hline 1 & 91 & 97 \\ \hline 2 & 32 & 34 \\ \hline 3 & 11 & 8 \\ \hline 4 & 2 & 1 \\ \hline +5 & 0 & 0 \\ \hline \text { Total } & 280 & 280 \\ \hline \end{array}

La distribución de Poisson y las apuestas deportivas

Pensemos en el futbol. Podemos considerar el fenómeno aleatorio marcar un gol como un tipo de ocurrencia que puede estudiarse mediante la distribución de Poisson. No existe la ocurrencia no marcar un gol (podrías pensar en un tiro a puerta y que no se materialice el gol, pero en ese caso cualquier pase también podría entenderse como un «no-gol» lo que no tendría sentido) y además es una ocurrencia por unidad de tiempo, en este caso goles por partido o goles por la duración de éste. También, el numero de ocurrencias no está limitado por un tope como en la distribución binomial.

Podríamos así obtener las estadísticas de goles marcados por nuestro equipo favorito y obtener el número medio de goles por partido. Supongamos que nuestro equipo marca 1,33 goles por partido, tendríamos así que lambda=1,33.

Ahora podríamos calcular la probabilidad de que nuestro equipo marque menos de tres goles en un partido. Los cálculos serian:

\begin{aligned}P[x<3]=P[x=0]+P[x=1]+P[x=2]=\end{aligned}

\begin{aligned}=\sum_{i=0}^{2} e^{-1.33} \cdot\frac{1.33^{i}}{i !} \end{aligned}

 

El resultado final sería:

\begin{array}{c} P[x<3]=0.264+0.352+ 0.234=0.85 \end{array}

teniendo así una probabilidad del 85%.

La relación de todos estos cálculos con las apuestas deportivas es muy sencilla, a mayor probabilidad de que ocurra un suceso menor será el importe que ganarías con la apuesta en caso de acertar el resultado final. En las apuestas se paga mejor lo improbable que lo probable. Aquí entra en juego, además de la suerte, la imaginación del apostador ya que, si éste encuentra un suceso o ocurrencia apostable con alguna relación que permita calcular su probabilidad, siendo esta alta, y que el creador de la apuesta no haya visto o considere baja encontraría una buena oportunidad para rentabilizar estos conocimientos. Pero cuidado: apostar es peligroso porque crea adicción y puedes perderlo todo, así que mucha precaución.

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