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La Distribución de Poisson

Definición de la Distribución de Poisson

La distribución de Poisson  es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo determinado. Nuestra variable aleatoria representará el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo determinado, el cual podrá ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna otra unidad similar o derivada de éstas.

 

La probabilidad  de nuestra variable aleatoria X viene dada por la siguiente expresión: 

P\left( x\right) =\dfrac {\mu ^{x}.e^{-\mu }}{x!}

donde:

  • Nuestra variable aleatoria discreta puede tomar los valores:  x=0,1,2,3\ldots
  • \mu donde es la media del número de sucesos en el intervalo que estemos tomando, ya sea de tiempo, distancia, volumen, etc. Es importante entender que este valor es una media en el sentido estrictamente estadístico de la palabra y como tal se calculará mediante dicha expresión y no debe calcularse nunca con una regla de proporcionalidad o regla de tres.
  • Se debe cumplir la condición de normalización  \sum ^{\infty }_{x=0}P\left( x\right) =1
  • La desviación típica es    \sigma =\sqrt {\mu }
  • Cuando realizamos un experimento contando sucesos y obtenemos un valor x, su error vendrá determinado por la raíz de x.   x\pm \sqrt {x}

La distribución de Poisson debe de cumplir los siguientes requisitos:

  • La variable discreta x es el número de ocurrencias de un suceso durante un intervalo (esto es la propia definición que hemos dado anteriormente).
  • Las ocurrencias deben ser aleatorias y no contener ningún vicio que favorezca unas ocurrencias en favor de otras.
  • Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo que se emplee.

¿Cuándo se usa la Distribución de Poisson?

La distribución de Poisson es particularmente importante ya que tiene muchos casos de uso. Podemos poner como ejemplos de uso: la disminución de una muestra radioactiva, la llegada de pasajeros de un aeropuerto o estación de trenes o autobuses, los usuarios que se conectan a una web determinada por hora (es un caso particularmente interesante que usa Googlee en sus métricas predictivas de visitantes únicos a una web).

Protomisil V2 de los que se lanzaban sobre Londres desde Calais ( Francia )

Como caso realmente interesante cabe mencionar que la distribución de poisson fue utilizada para determinar si durante la segunda guerra mundial los alemanes al bombardear Londres desde Calais (Francia 🇫🇷) con los protomisiles V1 y V2 apuntaban o simplemente disparaban al azar. Era un hecho realmente importante determinar ese punto pues si los objetivos alcanzados con estos primitivos misiles eran los blancos que los alemanes habían seleccionado, implicaba que éstos disponían de una tecnología balística muy superior a la sospechada. En las vídeoclases haré un ejercicio muy similar a dicho problema para ver un caso de utilidad que ha sido real.

Distribución de Poisson como una aproximación a la Distribución Binomial

La distribución de Poisson se usa en ocasiones para aproximar la distribución binomial. Existe un consenso en poder realizar esta aproximación cuando se satisfagan las siguientes condiciones:

  1. n\geq 100

  2. np\leq 10

En caso de que hagamos la aproximación porque se cumplan ambas condiciones vamos a necesitar el valor de \mu que lo calcularemos mediante la siguiente expresión :

\mu =np

 

También suele usarse a menudo una aproximación de la distribución de Poisson a una distribución Gaussiana, aunque esta última es una distribución de probabilidad continua. Este último apunte lo trataremos en otro momento.

A continuación os dejo las vídeoclases de la distribución de Poisson. El número de ellas podrá ir aumentando con el tiempo ya que iré incorporando más vídeoclases que haré más adelante.

 

36 comentarios en “La Distribución de Poisson”

  1. Qué pasa cuando el valor del parámetro landa es muy pequeño y se quiere obtener una probabilidad alta,p.e, de 100? es una duda que me ha surgido

  2. Un almacén de frutos secos ubicados en Avenida Salvador, ha logrado determinar que la probabilidad de que una persona que entra a su tienda y compre es de un 20%. Si la tienda tiene a 5 personas dentro en el mismo momento ¿Cuál es la probabilidad que hayan comprado 2 personas?

  3. En un banco comercial de Chile, reconocido en el mercado, se ha observado que en la entrega de tarjetas de créditos el 5% se encuentra con defectos. Encuentre la probabilidad de que una muestra de 12 tarjetas de crédito se encuentren 2 tarjetas defectuosas

  4. En una línea de producción en un determinado día la probabilidad
    de tener un defectuoso es de 0.05. Si el conjunto de unidades
    terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:

    a) ¿cuál es la probabilidad de que entre 4 unidades dos se encuentren

    defectuosas?

    b)¿y de que a lo mas dos se encuentren defectuosas?

    c) ¿cual es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre

    defectuosa?

  5. Los discos duros de computadora deben girar de manera equilibrada . El rodamiento para cualquier disco puede modelarse como una variable aleatoria con media de 0.226 y desviación estándar de 0.0042 . Cuál es la probabilidad de que x caerá entre 0.2245 y 0.2260?

  6. tengo un ejercicio:
    Suponga que el número de accidentes fatales en cierta ciudad obedece a una distribución de
    Poisson con promedio de uno por día ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de 10
    accidentes en una semana?

  7. Buenas,
    Tengo un ejercicio y dudo entre Poisson y Binomial. Le agradecería si me pudiera aclarar cuál de las dos es. El problema trata sobre una impresora puede fallar 0, 1 ó 2 veces al día y nos dan una serie de datos para estimar la probabilidad de que falle dos veces en un día. Por un lado como son sucesos por intervalo de tiempo pienso en Poisson pero también consideró que puede ser Binomial si pensamos en fracaso o no fracaso en n pruebas, considerando la n como los días que hacemos la prueba.
    Gracias

  8. buenas noches, queria saber si puedes aclararme la duda con respecto al ejercicio de la frecuencia de los fallos de las laminas: la probabilidad que calculaste de que salga con 3 o mas defectos, una lamina escogida de las 20 o una nueva lamina?

  9. DIANA PRISCILLA CARBAJAL ACEVEDO

    Hola Francisco M.

    Son buenos sus tutoriales me parecen comprensibles y ayudan a entender bien el tema y su desarrollo, le agradezco los comparta.

  10. Hola, Francisco. Dado que en un problema me dan como entrada que, en promedio suceden dos accidentes por año, ¿cómo defino la probabilidad si suceden x accidentes durante los tres meses siguientes al año?

  11. Francisco, gracias por compartir tus conocimientos. Felicitaciones!!!
    Queria consultarte si en el ejercicio 2 la media no sería 3×5/7 ( la media (3) para 7 días llevada a 5 días)

    1. No, porque lo que tú propones es una regla de tres y lo que nosotros queremos es la media, estadísticamente hablando. Tienes que aplicar la fórmula de la media. Tengo un comentario destacado en el vídeo donde lo explico paso a paso.
      Saludos

  12. Llevaba horas intentando entender esto, he visto tu vídeo y en cuestión de minutos lo he entendido. Cualquiera puede ser maestro, pero no cualquiera puede enseñar.

    Muchas gracias!

  13. Excelente esfuerzo. Ahora bien, si no ando equivocado, en la resolución del apartado 1, te ha faltado restar P(x=0) de 1. De esa forma, 4,978% no es la probabilidad de que el vendedor venda ALGUNA póliza, sino 1-4,978. Por favor corrígeme si estoy equivocado.
    En el ejercicio 3, no entiendo la forma en que calculas la nueva media para 5 días a la semana, pero creo difícil que, si la media para 7 días es 3, la media para 5 días sea 0,6. De nuevo, corrígeme si me equivoco.
    Gracias.

  14. Hola Francisco! Soy un fiel seguidor de tu canal dado el excelente abordaje de los distintos temas. Subirás vídeos sobre “momentos”, Anova y prueba de hipótesis? Se agradece!! Abrazos desde Buenos Aires!

  15. Excelente material didáctico. Estoy realizando un ejercicio de Bio estadística. El ejercicio 3 es muy semejante a lo que tengo, pero tengo la duda de en mi caso son años y total de casos, entiendo que mi frecuencia serian los casos, pero el tiempo seria el año.???

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