Sistemas de Ecuaciones Lineales

Conceptos a tratar: definición de sistema de ecuaciones lineales, Teorema de Rouché-Fröbenius, Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, sistema de ecuaciones compatible determinado, regla de Cramer, sistema de ecuaciones compatible indeterminado, sistema de ecuaciones incompatible, discutir un sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro.

¿ Qué vas a aprender de los Sistemas de Ecuaciones Lineales ?

En la práctica totalidad de las vídeoclases vamos a tratar con sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas ya que son este tipo los que mayormente se preguntan en los exámenes. No obstante, todos los desarrollos y explicaciones de este bloque, aunque tratemos con el caso de sistemas que he mencionado, son exportables y extensibles a cualquier tipo de sistema de ecuaciones lineales sea cual sea su número de ecuaciones y sea cual sea su número de incógnitas.

Básicamente vamos a tratar dos tipos de ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales; el primero es el clásico ejercicio de resolver un sistema de ecuaciones encontrando su solución o soluciones, suponiendo que exista solución; el segundo es un complejo ejercicio donde tenemos un parámetro en el sistema y nos piden que discutamos qué tipo de sistemas vamos a tener en función de dicho parámetro y resolverlo cuando sea posible. Ambos tipos de problemas se tratarán en las vídeoclases.

Ejercicios resueltos de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En este tipo de ejercicios tendremos siempre la misma forma de proceder. En primer lugar construimos las matrices de los coeficientes y ampliada. Después, calculamos el rango de cada una de ellas y teniendo en cuenta el número de incógnitas aplicamos el Teorema de Rouché-Fröbenius que nos indica qué tipo de sistema tenemos para cada caso según los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada y el número de incógnitas. Sabiendo ya de qué tipo de sistema de trata, sólo tendremos que aplicar el método oportuno.

Nuestro sistema de ecuaciones lineales, podrá ser según el Teorema de Rouché-Fröbenius:

  • Sistema de Ecuaciones Compatible Determinado. Lo denotaremos como SCD. Tienen una única solución y se calcula por una de estos dos métodos: la Regla de Cramer; o escribiendo el sistema de ecuaciones lineales de forma matricial y despejar la matriz incógnita haciendo uso de la matriz inversa de la matriz de los coeficientes. En este último método, la matriz de las incógnitas se calcula como el producto de la inversa de la matriz de los coeficientes por la matriz columna de los términos independientes. En el caso de que nuestro sistema de ecuaciones lineales además de ser compatible y determinado sea homogéneo, es decir, que todos los términos independientes son nulos, la solución de nuestro sistema será única y es la llamada solución trivial; es aquella en la que todas las incógnitas valen cero.
  • Sistema de Ecuaciones Compatible e Indeterminado. Lo denotaremos por SCI. Tienen infinitas soluciones y se calcula por el método de eliminación de ecuaciones y parametrización de incógnitas. Este método ,al igual que todos los que mencionamos, están explicados en los vídeos; mediante él obtenemos una solución paramétrica del sistema que nos proporciona las infinitas soluciones de nuestro sistema. En el caso de que nos encontremos en este caso con un sistema de ecuaciones homogéneo (todos sus términos independientes son nulos), se procederá exactamente igual que antes pero con la particularidad de que en las infinitas soluciones que obtenemos está incluida la solución trivial.
  • Sistema Incompatible. Lo denotaremos por SI. En este caso nuestro sistema no tiene ninguna solución. Es conveniente que tengas en cuenta que siempre que el sistema es compatible tendrá solución, pero cuando es incompatible no la tiene. Por lo tanto el “apellido” Compatible o Incompatible lo que nos va a dar información es acerca de si tiene o no solución nuestro sistema, respectivamente.

Discusión de Sistemas de Ecuaciones Lineales según los valores de un parámetro

En este tipo de ejercicios, son sin duda los más largos y difíciles, nos vamos a encontrar que nuestro sistema de ecuaciones tiene, al menos, un parámetro. Aunque el procedimiento está perfectamente explicado en los vídeos nuestro modo de operar es básicamente el siguiente:

  1. Igualamos el determinante de la matriz de los coeficientes a cero y despejamos el parámetro.
  2. Consideramos el caso en el que nuestro parámetro nunca toma el valor o los valores que hemos obtenido en el paso anterior cuando igualábamos el determinante de la matriz de los coeficientes a cero. En este caso siempre nos va a quedar un Sistema Compatible Determinado.
  3. A continuación para cada valor del parámetro de los obtenidos en el paso primero hacemos lo siguiente; sustituimos el valor en el parámetro en el sistema de ecuaciones y mediante el Teorema de Rouché-Fröbenius estudiamos de qué tipo de sistema se trata. Según nos diga el enunciado del problema que discutamos o discutamos y resolvamos cuando sea posible tendremos que quedarnos en decir qué tipo de sistema tenemos para ese valor del parámetro (discutir) o además de lo anterior solucionarlo (discutir y resolver cuando sea posible).

Teoría y ejercicios resueltos paso a paso de Sistemas de Ecuaciones Lineales

A continuación te dejo las explicaciones en vídeo. Te recomiendo que te suscribas al canal para estar al día de las últimas novedades del canal que te pueden ser muy útiles en tus estudios. También te recomiendo que compartas este contenido con tus compañeros de estudio, seguro que también les resulta muy útil.

 

Deja un comentario

Uso de cookies

Este sitio web utiliza cookies para que usted tenga la mejor experiencia de usuario. Si continúa navegando está dando su consentimiento para la aceptación de las mencionadas cookies y la aceptación de nuestra política de cookies, pinche el enlace para mayor información.plugin cookies

ACEPTAR
Aviso de cookies