Integrales Impropias de Primera Especie: Guía Completa con Ejemplos y Aplicaciones

Contenido

1 ¿Qué son las Integrales Impropias de Primera Especie?
- 1.1 Cómo se calcula la integral impropia de primera especie
2 Tipos de Integrales Impropias de Primera Especie
3 Criterios de Convergencia
4 Ejercicios de integrales Impropias de Primera Especia resueltos paso a paso

¿Qué son las Integrales Impropias de Primera Especie?

Imagina que quieres calcular el área bajo una curva que se extiende infinitamente hacia la derecha. Las integrales definidas que ya conoces no pueden calcular este tipo de áreas, ya que están diseñadas para intervalos finitos.

Aquí es donde entran en juego las integrales impropias de primera especie. Son una extensión del concepto de integral definida que nos permiten calcular áreas bajo curvas que se extienden hasta el infinito. Mira el siguiente ejemplo donde grafico la función $f(x)=\frac{1}{x^2}$

Integrales Impropias de Primera Especie

El área entre la recta $y=1$ y el eje $X$ se calcularía mediante la siguiente integral:

$Área\thinspace bajo\thinspace la\thinspace curva=\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x$

Vamos a la definición formal de Integral Impropia de Primera Especie ( también conocidas como Integrales Impropias de Tipo 1). Las integrales impropias de primera especie son aquellas en las que el intervalo de integración es infinito, es decir, al menos uno de los límites de la integral es infinito. Teniendo en cuenta que el cálculo de una integral definida nos proporciona el área entre la curva y el eje x este tipo de integrales nos permiten calcular el área bajo una curva que se extiende hasta el infinito, ya sea hacia la derecha, hacia la izquierda o en ambas direcciones.

Cómo se calcula la integral impropia de primera especie

Doy por hecho que llegados a este puento sabes calcular intergrales inmediatas. Para calcular una integral impropia de este tipo, se transforma el límite infinito en un límite ordinario, usando límites en el sentido matemático. Por ejemplo, para la integreal desde $a$ hasta $\infty$ , calculamos:

$\int_a^{\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_a^t f(x) d x$

Tipos de Integrales Impropias de Primera Especie

Vamos a plantearlo de una forma muy clara y sencilla. Tendremos tres tipos:

Límites de integración infinitos positivos .Supón que quieres calcular la integral de una función $f(x)$ en un intervalo que va desde un número finito $a$ hasta $\infty$ . Esta es una integral impropia de primera especie porque uno de los límites (el superior) es infinito.

$\int_a^{\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_a^t f(x) d x$

Límites de integración infinitos negativos. Del mismo modo, si la integral va desde $-\infty$ hasta un valor finito $b$ , también es una integral impropia de primera especie. Esta es una integral impropia de primera especie porque uno de los límites (el inferior) es infinito.

$\int_{-\infty}^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^b f(x) d x$

Intervalos infinitos en ambos extremos. O, en el caso más general, podríamos tener ambos límites infinitos:

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow-\infty}\int_{t}^c f(x) d x+\lim _{t \rightarrow\infty}\int_c^{t} f(x) d x$

Criterios de Convergencia

Los criterios de convergencia para las integrales impropias de primera especie son métodos que nos ayudan a determinar si una integral impropia converge (tiene un valor finito) o diverge (se hace infinita). Vamos a ver tres criterios importantes: el criterio de comparación, el criterio del límite, y el criterio de la integral de .

Criterio de Comparación

Este criterio se basa en comparar la función cuya integral queremos evaluar con otra función de la que ya sabemos si su integral converge o diverge.

Si $f(x) \geq 0$ y $g(x) \geq 0$ para $x \geq a$ entonces:

Si $\int_a^{\infty} g(x) d x$ converge y $f(x) \leq g(x)$ para $x \geq a$ , entonces $\int_a^{\infty} f(x) d x$ también converge.
Si $\int_a^{\infty} g(x) d x$ diverge y $f(x) \geq g(x)$ para $x \geq a$ , entonces $\int_a^{\infty} f(x) d x$ también diverge.

Vamos a verlo con un ejemplo práctico:

Vamos a comparar la función $f(x)=\frac{1}{x^3}$ con la función $g(x)=\frac{1}{x^2}$ . Sabemos que la integral $g(x)$ converge de la siguiente manera:

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty}=1$

Como $\frac{1}{x^3} \leq \frac{1}{x^2}$ para $x \geq 1$ y la integral de $g(x)=\frac{1}{x^2}$ converge, entonces, por el criterio de comparación la integral de $f(x)$ también converge y de hecho si la calculamos obtenemos:

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3} d x=\frac{1}{2}$

Criterio del Límite

Este criterio usa el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a infinito, comparando el cociente de dos funciones. Supongamos que $f(x) \geq 0$ y $g(x) \geq 0$ para $x \geq a$ . Si $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=L$ donde $L$ es un número positivo y finito, entonces la integral $\int_a^{\infty} f(x) d x$ converge si y sólo si $\int_a^{\infty} g(x) d x$ converge.

Vamos con un ejemplo práctico para entenderlo mejor.

Consideramos la siguientes funciones: $f(x)=\frac{1}{x^3+1}$ y $g(x)=\frac{1}{x^3}$ . Calculamos el límite del cociente cuando $x \rightarrow \infty$ y obtenemos:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{x^3+1}}{\frac{1}{x^3}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3}{x^3+1}=1$

Como sabemos que el límite es 1 y que $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3} d x$ converge, entonces $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3+1} d x$ converge también.

Criterio de la Integral de p

Este criterio aplica específicamente a integrales de funciones de la forma $f(x)=\frac{1}{x^p}$ . La integral $\int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} d x$ converge si $p>1$ y diverge si $p \leq 1$ .

Vamos con un ejemplo práctico con el que terminar de entenderlo mejor. Vamos a evaluar la integral $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} d x$ para los diferentes valores que puede tomar $p$ .

Si $p=2$ tenemos:

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} d x=\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{\infty}=1$

Esta integral converge porque $p=2>1$ , la sabiamos antes de realizar el cálculo, de hecho con el cálculo lo que hacemos es confirmar y especificar la convergencia.

Si $p=1$ tenemos:

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x} d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \ln (t)-\ln (1)=\infty$

Esta integral ya sabemos que diverge porque $p=1$ lo que podemos comprobar en el cálculo anterior.

Resumen de los criterios de convergencia de las Integrales Impropias de Primera Especie

Estos son métodos fundamentales para determinar la convergencia de integrales impropias

Criterio de Comparación. Compara la función con otra de la que ya conoces la convergencia.
Criterio del Límite. Compara el cociente de las funciones cuando $x \rightarrow \infty$
Criterio de la Integral p. Si la integral tiene la forma: $\int_a^{\infty} \frac{1}{x^p} d x$ Si $p>1$ converge y diverge si $p \leq 1$

Ejercicios de integrales Impropias de Primera Especia resueltos paso a paso

Ahora vamos a resolver varias integrales de primera especia paso a paso de forma sencilla y clara. En los siguientes vídeos de mi canal de YouTube te lo explico de forma detallada. ¡Échales un vistazo y verás qué fácil!

Integral impropia de primera especie | Explicacion y ejercicio

Integral impropia de primera especie | Ejercicio resuelto 2

Integral impropia de primera especie | Ejercicio resuelto 3

Francisco Márquez

Estudié Física en la Universidad y como no tuve bastante después volví a estudiar otra carrera, esta vez Ingeniería Informática. Actualmente trabajo como ingeniero de software y el canal de Youtube físicaymates es mi única reminiscencia de mi época como docente.

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JUAN CARLOS

23 febrero, 2024 a las 3:41 am

Mas claro, imposible

Responder

23 febrero, 2024 a las 3:40 am

mas claro imposible

Francisco Márquez
23 febrero, 2024 a las 11:35 am

Muchísimas gracias por tu amable comentario.
Saludos

Responder

CONSTANTINO VILLARREAL LOZANO

17 marzo, 2019 a las 5:42 pm

Un saludo desde México. permítame felicitarlo por sus amplios conocimientos y por su gran labor. Sin conocerlo puedo decir que usted es una gran persona.