La Distribución de Poisson

Definición de la Distribución de Poisson

La distribución de Poisson  es una distribución de probabilidad discreta que se aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo determinado. Nuestra variable aleatoria representará el número de ocurrencias de un suceso en un intervalo determinado, el cual podrá ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna otra unidad similar o derivada de éstas.

La probabilidad  de nuestra variable aleatoria X viene dada por la siguiente expresión: 

P\left( x\right) =\dfrac {\mu ^{x}.e^{-\mu }}{x!}

donde:

  • Nuestra variable aleatoria discreta puede tomar los valores:  x=0,1,2,3\ldots
  • \mu donde es la media del número de sucesos en el intervalo que estemos tomando, ya sea de tiempo, distancia, volumen, etc. Es importante entender que este valor es una media en el sentido estrictamente estadístico de la palabra y como tal se calculará mediante dicha expresión y no debe calcularse nunca con una regla de proporcionalidad o regla de tres.
  • Se debe cumplir la condición de normalización  \sum ^{\infty }_{x=0}P\left( x\right) =1
  • La desviación típica es    \sigma =\sqrt {\mu }
  • Cuando realizamos un experimento contando sucesos y obtenemos un valor x, su error vendrá determinado por la raíz de x.   x\pm \sqrt {x}

La distribución de Poisson debe de cumplir los siguientes requisitos:

  • La variable discreta x es el número de ocurrencias de un suceso durante un intervalo (esto es la propia definición que hemos dado anteriormente).
  • Las ocurrencias deben ser aleatorias y no contener ningún vicio que favorezca unas ocurrencias en favor de otras.
  • Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo que se emplee.

¿Cuándo se usa la Distribución de Poisson?

La distribución de Poisson es particularmente importante ya que tiene muchos casos de uso. Podemos poner como ejemplos de uso: la disminución de una muestra radioactiva, la llegada de pasajeros de un aeropuerto o estación de trenes o autobuses, los usuarios que se conectan a una web determinada por hora (es un caso particularmente interesante que usa Googlee en sus métricas predictivas de visitantes únicos a una web).

La Distribución de Poisson 1

Protomisil V2 de los que se lanzaban sobre Londres desde Calais ( Francia )

Como caso realmente interesante cabe mencionar que la distribución de poisson fue utilizada para determinar si durante la segunda guerra mundial los alemanes al bombardear Londres desde Calais (Francia 🇫🇷) con los protomisiles V1 y V2 apuntaban o simplemente disparaban al azar. Era un hecho realmente importante determinar ese punto pues si los objetivos alcanzados con estos primitivos misiles eran los blancos que los alemanes habían seleccionado, implicaba que éstos disponían de una tecnología balística muy superior a la sospechada. En las vídeoclases haré un ejercicio muy similar a dicho problema para ver un caso de utilidad que ha sido real.

Distribución de Poisson como una aproximación a la Distribución Binomial

La distribución de Poisson se usa en ocasiones para aproximar la distribución binomial. Existe un consenso en poder realizar esta aproximación cuando se satisfagan las siguientes condiciones:

  1. n\geq 100

  2. np\leq 10

En caso de que hagamos la aproximación porque se cumplan ambas condiciones vamos a necesitar el valor de \mu que lo calcularemos mediante la siguiente expresión :

\mu =np

 

También suele usarse a menudo una aproximación de la distribución de Poisson a una distribución Gaussiana, aunque esta última es una distribución de probabilidad continua. Este último apunte lo trataremos en otro momento.

A continuación os dejo las vídeoclases de la distribución de Poisson. El número de ellas podrá ir aumentando con el tiempo ya que iré incorporando más vídeoclases que haré más adelante.

 

25 Comments

  1. Avatar daniel romero 5 agosto, 2019
    • Francisco Márquez Francisco Márquez 5 agosto, 2019
  2. Avatar victor guevara 11 julio, 2019
  3. Avatar DIANA PRISCILLA CARBAJAL ACEVEDO 10 junio, 2019
  4. Avatar Felipe 5 noviembre, 2018
  5. Avatar Eduardo 24 julio, 2018
    • Francisco Márquez Francisco Márquez 26 agosto, 2018
  6. Avatar Wendy Zavala 26 mayo, 2018
  7. Avatar Cynthia 21 febrero, 2018
  8. Avatar Carles Sánchez (@cloud_quant) 14 diciembre, 2017
  9. Avatar Luis Reyes 22 noviembre, 2017
  10. Avatar Gisela Argueta. 14 agosto, 2017
  11. Avatar Eduardo 11 abril, 2017
  12. Avatar jose perez martin 2 febrero, 2017
  13. Avatar Lilian Ochoa 5 diciembre, 2016
  14. Avatar Lilian Ochoa 5 diciembre, 2016

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