Autovalores y autovectores de una matriz

El cálculo de los autovalores y autovectores de una matriz tiene multitud de usos en ramas de la ciencia como: las aplicaciones relacionadas con las vibraciones, aerodinámica, elasticidad, física nuclear, mecánica, ingeniería química, biología, ecuaciones diferenciales, etc. El motivo de esta mención es para poner de manifiesto la justificación de este estudio.

Partimos de la siguiente expresión, no es el objetivo de este curso su justificación sino simplemente explicar el algoritmo de cálculo de los autovalores y autovectores asociados a éstos.

A\vec{v}=\lambda\vec{v}

La matriz A será siempre una matriz cuadrada de dimensión genérica n, es decir, tendrá n filas y n columnas. En las vídeoclases vamos a tratar siempre matrices de dimensión tres por ser lo mas habitual en todos los ejercicios, \lambda será el autovalor y \vec{v} el autovector asociado a \lambda. Cabe mencionar que tanto los autovalores como los autovectores suelen denominarse de diferentes maneras según la bibliografía que tomemos como referencia. Yo usaré los nombres : autovalores y autovectores (es obvio al ver el título del post 😁). Los autovalores también reciben los nombres de valores críticos, valores propios, valores característicos y eigenvalores. Análogamente, los autovectores también reciben los nombres de vectores críticos, vectores propios, vectores característicos y eigenvectores. Sobra decir que cualquier denominación es totalmente correcta.

¿ Cómo se calculan los autovalores y autovectores de una matriz A?

Todo se explica detalladamente y paso a paso en los siguientes vídeos, sin embargo, a modo de resumen expondré el algoritmo de cálculo para encontrar los autovalores y autovectores asociados a cada autovalor de una matriz A.

1.- Calcular las raíces del polinomio característico de la matriz A. Dichas raíces son los autovalores de A. Hay que anotar la multiplicidad algebraica de cada autovalor, es decir, el numero de veces que aparece como solución en el polinomio característico.

\left|A-\lambda I\right|=0

2.- Para cada valor propio , determinamos todas las soluciones no triviales para el sistema homogéneo siguiente:

\left|A-\lambda I\right|\vec{v}=\vec{0}

Donde \vec{v} es un autovector genérico. Todo ésto se explica detalladamente en los vídeos.

Notas acerca del cálculo de autovalores y autovectores en los ejercicios

1.- Los autovalores pueden ser números complejos, así como los autovectores asociados a éste tener algunos o todos sus componentes con números complejos. Es normal, no te asustes.
2.- Si A es una matriz triangular superior o inferior o una matriz diagonal, los autovalores de dicha matriz A son los elementos de su diagonal principal.
3.- 0 no se considera autovalor de A y tampoco el vector nulo se considera autovector asociado al autovalor nulo.

Vídeoclases para aprender a calcular los autovalores y autovectores de una matriz A

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