Autovalores y Autovectores de una Matriz: Conceptos Fundamentales y Métodos de Cálculo

Introducción

Los autovalores y autovectores son conceptos fundamentales en álgebra lineal y tienen una amplia aplicación en diversas disciplinas, como la física, la ingeniería, la informática y las ciencias sociales. En este artículo, exploraremos en profundidad qué son los autovalores y autovectores de una matriz, por qué son importantes y cómo se calculan.

Definición de Autovalores y Autovectores

Partimos de la siguiente expresión, no es el objetivo de este curso su justificación sino simplemente explicar el algoritmo de cálculo de los autovalores y autovectores asociados a éstos.

A\vec{v}=\lambda\vec{v}

La matriz A será siempre una matriz cuadrada de dimensión genérica n, es decir, tendrá n filas y n columnas. En las vídeoclases vamos a tratar siempre matrices de dimensión tres por ser lo mas habitual en todos los ejercicios, \lambda será el autovalor y \vec{v} el autovector asociado a \lambda. Cabe mencionar que tanto los autovalores como los autovectores suelen denominarse de diferentes maneras según la bibliografía que tomemos como referencia. Yo usaré los nombres : autovalores y autovectores (es obvio al ver el título del post 😁). Los autovalores también reciben los nombres de valores críticos, valores propios, valores característicos y eigenvalores. Análogamente, los autovectores también reciben los nombres de vectores críticos, vectores propios, vectores característicos y eigenvectores. Sobra decir que cualquier denominación es totalmente correcta.

¿ Cómo se calculan los autovalores y autovectores de una matriz A?

Todo se explica detalladamente y paso a paso en los siguientes vídeos, sin embargo, a modo de resumen expondré el algoritmo de cálculo para encontrar los autovalores y autovectores asociados a cada autovalor de una matriz A.

1.- Calcular las raíces del polinomio característico de la matriz A. Dichas raíces son los autovalores de A. Hay que anotar la multiplicidad algebraica de cada autovalor, es decir, el numero de veces que aparece como solución en el polinomio característico.

\left|A-\lambda I\right|=0

2.- Para cada valor propio , determinamos todas las soluciones no triviales para el sistema homogéneo siguiente:

\left|A-\lambda I\right|\vec{v}=\vec{0}

Donde \vec{v} es un autovector genérico. Todo ésto se explica detalladamente en los vídeos.

Importancia de los Autovalores y Autovectores

Los autovalores y autovectores desempeñan un papel crucial en la diagonalización de matrices y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Algunas de las aplicaciones más destacadas incluyen:

  1. Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Los autovectores pueden utilizarse para simplificar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, especialmente cuando se trabaja con matrices grandes y complejas.
  2. Análisis de Estabilidad: En ciencias e ingeniería, los autovalores se utilizan para analizar la estabilidad de sistemas dinámicos. Por ejemplo, en el análisis de circuitos eléctricos o en la teoría de control.
  3. Reducción de Dimensión: En aprendizaje automático y análisis de datos, los autovectores son esenciales para técnicas de reducción de dimensión, como el Análisis de Componentes Principales (PCA), que permite simplificar conjuntos de datos manteniendo la información más importante.

Notas acerca del cálculo de autovalores y autovectores en los ejercicios

1.- Los autovalores pueden ser números complejos, así como los autovectores asociados a éste tener algunos o todos sus componentes con números complejos. Es normal, no te asustes.
2.- Si A es una matriz triangular superior o inferior o una matriz diagonal, los autovalores de dicha matriz A son los elementos de su diagonal principal.
3.- 0 no se considera autovalor de A y tampoco el vector nulo se considera autovector asociado al autovalor nulo.

Vídeoclases para aprender a calcular los autovalores y autovectores de una matriz A

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2 comentarios en “Autovalores y Autovectores de una Matriz: Conceptos Fundamentales y Métodos de Cálculo”

  1. Profesor, sus aportes de matemática son espléndidos. Han ayudado a miles y miles de personas, entre ellas, yo. Agradezco su facilidad al enseñar y su didáctica.
    Usted ¿podría explicar para qué se usa y qué representa un autovalor o autovector físicamente? ¿Cómo se usa en la física? Luego de trabajar con ellos varias veces, termina resultando ameno calcularlos, pero aún no entiendo su significado en los sistemas físicos, termino haciendo cuentas sin saber lo que realmente representan en la vida real.
    Muchas gracias

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