Asíntotas de una función (1) | Asíntotas Verticales

Contenido

1 Definición de asíntotas de una función | Asíntotas Verticales
2 Tipos de asíntotas de una función e identificación gráfica
3 Ejercicios prácticos de cálculo de asíntotas de una función

Definición de asíntotas de una función | Asíntotas Verticales

Las asíntotas de una función son líneas que indican cómo se comporta la gráfica de una función a medida que sus valores se acercan a ciertos puntos o tienden al infinito. Aunque la función se aproxima cada vez más a estas líneas, nunca las cruza. Las asíntotas son clave en matemáticas porque nos ayudan a entender el comportamiento de una función en sus extremos, lo que es útil para graficar y analizar su tendencia.

Existen tres tipos principales:

Asíntotas verticales: Se producen cuando la función tiende a infinito positivo o negativo cerca de un valor particular de $x$ . Esto ocurre, por ejemplo, cuando el denominador de una función racional se anula. Matemáticamente tiene la forma: $x=a$ siendo $a \in \mathbb{R}$
Asíntotas horizontales: Ocurren cuando, al hacer $x$ muy grande o muy pequeño, la función se acerca a un valor constante, mostrando estabilidad a largo plazo. Matemáticamente se expresan como. $y=a$ siendo $a \in \mathbb{R}$ .
Asíntotas oblicuas: Se presentan cuando la gráfica de la función se aproxima a una línea inclinada, en lugar de una recta horizontal, cuando $x$ tiende a infinito. Matemáticamente se expresan como: $y=mx+n$ siendo $m,n \in \mathbb{R}$

Las asíntotas de una función son esenciales en el estudio de funciones porque nos permiten visualizar cómo se comporta una función en los extremos de su dominio. Esto es crucial para simplificar gráficos, entender límites y encontrar discontinuidades

Tipos de asíntotas de una función e identificación gráfica

Asíntotas Verticales

Una asíntota vertical, es la primera de las asíntotas de una función que vamos a estudiar, se identifica en una gráfica como una línea recta vertical a la que la función se aproxima indefinidamente, pero nunca la cruza ni la toca. Esta línea marca un valor específico de $x$ donde la función no está definida o tiende a infinito. Visualmente, la gráfica de la función parece “subir” o “bajar” de forma abrupta a medida que se acerca a esa línea, que suele estar representada por una línea punteada o discontinua para indicar la asíntota.

Pasos para identificar una asíntota vertical en una gráfica:

Comportamiento de la función cerca de un valor específico de $x$ : Si observas que, cuando la función se acerca a un valor de $x$ , la curva sube hacia $+\infty$ o baja hacia $-\infty$ , es una señal de que existe una asíntota vertical en ese punto.
En funciones racionales, las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador tiende a cero en un valor específico de $x$ , como en $f(x)=\frac{1}{x-2}$ , donde la gráfica tiene una asíntota vertical en $x=2$ .
En funciones racionales, las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador tiende a cero en un valor específico de $x$ , como en $f(x)=\ln (x)$ , donde la gráfica tiene una asíntota vertical en $x=2$ .

En resumen, las asíntotas verticales y en general las asintotas de una función, se ven como barreras donde la gráfica de la función parece acercarse, pero nunca puede cruzarlas. Esto sucede típicamente en valores donde la función se hace indefinida. En la siguiente figura podemos ver una asíntota vertical en $x=3$ , podéis ver la línea vertical punteada en color azul.

Cálculo de las asíntotas verticales

Para calcular una asíntota vertical de una función, generalmente se busca identificar los valores de $x$ en los que la función no está definida o tiende a infinito. Por ejemplo, la función $f(x)=\frac{1}{x-2}$ si calculamos los límites laterales en $x=2$ vamos a obtener los siguientes resultados:

$\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x-2}=+\infty$

$\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{1}{x-2}=-\infty$

Ambos límites indican una asíntota vertical en $x=2$ . No obstante, debemos tener un procedimiento que nos permita centrarnos en encontrar donde puede haber o hay una asíntota vertical sin tener que estar probando los cálculos de los límites laterales. Necesitamos un procedimiento o unas reglas que nos digan de forma concisa donde se encuentran estas asíntotas en el que de que la función estudiada las contenga.

Te voy a proporcionar un método que te va a servir para calcular las asíntotas verticales de una función, si las tiene, en el 99% de los casos y que es muy sencillo. Te va a permitir calcular los valores de $x$ donde se encuentran nuestras asíntotas verticales dependiendo el tipo de función que tengamos.

Cálculo de asíntotas verticales en funciones racionales

En una función racional $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios, las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador $Q(x)$ se iguala a cero, ya que esto indica una discontinuidad en la función. Los pasos que debemos seguir son los siguientes:

Encuentra los valores de $x$ que hacen que el denominador sea igual a cero: $Q(x)=0$
Verifica que el numerador $P(x)$ no se anula en esos mismos puntos. Si el numerador no se anula, entonces existe una asíntota vertical en ese valor de $x$ .

Vamos a ponerlo en práctica un ejercicio de ejemplo. Vamos a calcular las posibles asíntotas verticales de la función: $f(x)=\frac{1}{x-2}$ . Lo que tenemos que hacer es tomar el denominador $x-2$ lo igualamos a cero y despejamos el valor de $x$ que lo anula. En ese punto de $x$ estará nuestra asíntota vertical. Tendremos entonces: $x-2=0$ de donde obtenemos que $x=2$ . Hay que tener en cuenta que si la ecuación que nos quede al igualar el denominador a cero no tiene solución, entonces nuestra función no tendría asíntotas verticales.

asintotas de una funcion asintota vertica en x igual 2

En la gráfica de la izquierda se puede observar la función $f(x)=\frac{1}{x-2}$

y su asíntota vertical en $x=2$

que es la línea puntuada de color roja.

Cálculo de asíntotas verticales en funciones logarítmicas

En las funciones logarítmicas, como $f(x)=\ln (f(x))$ , la asíntota vertical ocurre cuando el argumento del logaritmo es igual a cero, ya que el logaritmo natural no está definido para $x \leq 0$ . Aquí el procedimiento es muy sencillo, tomamos $f(x)$ y lo igualamos a cero y despejamos $x$ , en los valores que se satisfaga esa ecuación $f(x)=0$ tendremos una asíntota vertical.

Veamos un ejercicio práctico para entenderlo mejor. Suponemos que queremos calcular las asíntotas verticales a la función: $f(x)=\ln \left(x^2-1\right)$ . Lo que tenemos que hacer es tomar el argumento del logaritmo y lo igualamos a cero para despues depejar $x$ . Tendriamos: $x^2-1=0 \rightarrow x^2=1 \rightarrow x=\sqrt{1}$ de donde obtenemos dos asíntotas verticales, una en $x=-1$ y la otra en $x=1$ .

asintotas de una funcion asintota vertical logaritmo

En la la gráfica de la izquierda se puede observar la función $f(x)=\ln \left(x^2-1\right)$

y las dos asíntotas verticales en $x=-1$

y $x=1$

, ambas líneas punteadas de color rojo.

Ejercicios prácticos de cálculo de asíntotas de una función

A continuación te dejo unas clases de mi canal de YouTube donde hago muchos ejercicios poniendo en práctica lo que te he explicado en este artículo, échale un vistazo porque seguro que te resulta muy útil.

¿ Cómo se calcula las Asíntotas Verticales ? | Explicación y ejercicio resuelto

¿ Cómo se calcula las Asíntotas Horizontales ? | Explicación y ejercicio resuelto

Asintotas horizontales | Explicacion y ejercicios resueltos # 2

Asintotas oblicuas | Explicacion y ejercicios resueltos

Asíntotas Verticales, Horizontales y Oblicuas | Ejercicio resuelto #1

Asíntotas de una función | Ejercicio resuelto

Francisco Márquez

Estudié Física en la Universidad y como no tuve bastante después volví a estudiar otra carrera, esta vez Ingeniería Informática. Actualmente trabajo como ingeniero de software y el canal de Youtube físicaymates es mi única reminiscencia de mi época como docente.

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