Asíntota Horizontal de una Función | La guía definitiva!

Contenido

1 ¿Qué es una asíntota horizontal?
2 Definición de Asíntota Horizontal
3 Cálculo de la Asíntota Horizontal
4 Conclusión
5 Ejercicios resueltos paso a paso de cálculo de asíntotas horizontales de un función

¿Qué es una asíntota horizontal?

Una asíntota horizontal, es una de los tres tipos de asíntotas que puede tener una función, en concreto la asíntota horizontal es una línea recta horizontal que indica el valor hacia el que se aproxima una función cuando la variable independiente $x$ crece indefinidamente, ya sea hacia infinito positivo ( $x \rightarrow \infty$ ) o infinito negativo ( $x \rightarrow-\infty$ ). Esto significa que a medida que $x$ se aleja mucho del origen, la función se acerca cada vez más a una cierta altura o valor constante, aunque nunca lo toque necesariamente.

En términos más simples, la asíntota horizontal muestra cómo se comporta una función en los extremos, es decir, lo que sucede cuando te alejas mucho hacia la derecha o hacia la izquierda en el gráfico. VAmos a verlo con un ejemplo práctico, supongamos la función $f(x)=\frac{3 x^2-1}{x^2}$ . Esta función tiene una asíntota horizontal en $y=3$ , a continuación te muestro la gráfica para que lo veas.

Fíjate como la asíntota horizontal se pueden identificar perfectamente en la gráfica porque es los extremos de la misma la función se convierte en una línea horizontal. Observa que la función $f(x)$ se aproxima a la asíntota horizontal pero nunca la atraviesa y nunca la tocará aunque en la gráfica aparece que la toca por la imposibilidad de pintar la recta horizontal infinitamente cerca de la función. En este artículo nos vamos a centrar en el cálculo de las asíntotas horizontales en las funciones racionales del tipo:

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_0}{b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_0}$

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios.

Definición de Asíntota Horizontal

Matemáticamente, una asíntota horizontal se define usando los límites de la función cuando $x$ tiende a infinito. La recta $y=L$ es una asíntota horizontal de la función $f(x)$ si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

$\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L$ ó $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=L$

Esto significa que, a medida que $x$ se acerca a infinito positivo $x \rightarrow \infty$ o negativo $(x \rightarrow-\infty)$ los valores de la función $f(x)$ se aproximan al valor constante $L$ .

Nosotros en el tipo de funciones que estamos estudiando, compuesta por polinomios, vamos a tener la particularidad de que los límites tanto al infinito como al menos infinito nos darán lo mismo, por lo tanto no calcularemos límites al mas infinito y menos infinito, sino que pondremos $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ lo cual indicará que es indiferente el signo del infinito para el cálculo de la asíntota horizontal.

Cálculo de la Asíntota Horizontal

Nos vamos a centrar en el cálculo de la asíntota horizontal en el caso de funciones racionales del tipo

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_0}{b_m x^m+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_0}$

donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios.

Vamos a distinguir tres casos diferentes en el cálculo de la asíntota horizontal, vamos a describirlos detalladamente y al final los resumiremos de forma clara y concisa.

Caso 1: Grado de P(x)< grado de Q(x)

Supongamos la siguiente función donde el grado del polinomio $P(x)$ , grado del numerador, es menos que el grado de $Q(x)$ , grado del denominador.

$f(x)=\frac{2 x^2+3}{5 x^3+7}$

Podemos observar que el grado del numerador ( te recuerdo que el grado de un polinomio es la mayor potencia de $x$ que encuentras en dicho polinomio) es 2 mientras que el grado del denominador es 3. Lo primero que tenemos que hacer para calcular la asínto horizontal tenemos que calcular el límite al infinito de la función.

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2+3}{5 x^3+7}=\frac{\infty}{\infty}$ donde nos encontramos con una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$

Para resolver este tipo de indeterminaciones tenemos dos opciones: aplicar la Regla de L´Hopital o el Método del Factor Dominante. En estos casos de polinomios tanto en numerador como denominador el Método del Factor Dominante es lo más sencillo y rápido; este método consiste en quedarnos con el monomio de mayor grado de cada polinomio de numerador y denominador. Así nos quedará:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2+3}{5 x^3+7}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{5 x^3}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2}{5 x}=\frac{2}{\infty}=0$

Nos encontramos con que nuestra función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal en $y=0$ . Es la línea roja punteada de la siguiente gráfica.

Lo interesante de esta situación es que podemos concluir que siempre que el grado del numerador sea inferior al grado del denominador tendremos una asíntota horizontal es $y=0$ ya que nos encontraremos siempre en el cálculo del límite con la situción de una constante entre $\infty$ que es 0.

Caso 2: Grado de P(x)= grado de Q(x)

Supongamos la siguiente función donde el grado del polinomio $P(x)$ , grado del numerador, es igual que el grado de $Q(x)$ , grado del denominador.

$f(x)=\frac{4 x^3+2 x+1}{2 x^3-5 x^2+3}$

En nuestra función de ejemplo ambos polinomios, numerador y denominador, tienen grado 3. Calculamos el límite cuando $x \rightarrow \infty$ para ver donde está la asíntota horizontal si es que la hay.

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^3+2 x+1}{2 x^3-5 x^2+3}=\frac{\infty}{\infty}$

obteniendo de nuevo la indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ que resolveremos al igual que en el caso anterior por el Método del Factor Dominante, obteniendo en tonces lo siguiente:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^3+2 x+1}{2 x^3-5 x^2+3}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^3}{2 x^3}=\frac{4}{2}=2$

Obteniendo así una asíntota horizontal en $y=2$ . Es la línea roja punteada de la siguiente gráfica.

Generalizamos y diremos que siempre que los grados de numerador y denominador coincidan, el limite al infinito de la función nos dará un número finito que nos dará la asíntota.

Caso 3: Grado de P(x)> grado de Q(x)

Supongamos la siguiente función donde el grado del polinomio $P(x)$ , grado del numerador, es mayor que el grado de $Q(x)$ , grado del denominador.

$f(x)=\frac{ x^2+2 x^2+1}{x-4}$

En este caso el numerador tiene grado 4 y el denominador grado 2. Calculamos el límite cuando $x \rightarrow \infty$ para ver donde está la asíntota horizontal si es que la hay.

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^4+2 x^2+1}{x^2-1}=\frac{\infty}{\infty}$

obteniendo de nuevo la indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ que resolveremos al igual que en el caso anterior por el Método del Factor Dominante, obteniendo entonces lo siguiente:

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^4+2 x^2+1}{x^2-1}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^4}{x^2}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^2}{1}=\infty$

En este caso no hemos obtenido un número finito, sino un infinito, por lo tanto podemos decir que esta función $f(x)$ no tiene asíntotas horizontales.

Generalizamos como en los dos casos anteriores y diremos que cuando el grado del numerador sea mayor que el grado del denominador al calcular el límite obtendremos un infinito y no tendremos asíntotas horizontales.

Conclusión

Cuando nuestra función sea del tipo $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ sean polinomios.

Si el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador tendremos una asíntota horizontal en $y=0$
Si el grado del polinomio del numerador es igual al del denominador tendremos una asíntota horizontal en $y=a$ siendo $a$ el cociente entre el coeficiente del monomio de mayor grado del numerador y el coeficiente del monomio de mayor grado del denominador.
Si el grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador no tendremos asíntota horizontal.

Ejercicios resueltos paso a paso de cálculo de asíntotas horizontales de un función

Aquí te dejo dos clases de mi canal de YouTube Físicaymates donde calculo las asíntotas verticales, horizontales y oblícuas de distintas funciones. Son ejercicios resueltos paso a paso que te recomiendo que veas porque te ayudarán mucho.

¿ Cómo se calcula las Asíntotas Verticales ? | Explicación y ejercicio resuelto

¿ Cómo se calcula las Asíntotas Horizontales ? | Explicación y ejercicio resuelto

Asintotas horizontales | Explicacion y ejercicios resueltos # 2

Asintotas oblicuas | Explicacion y ejercicios resueltos

Asíntotas Verticales, Horizontales y Oblicuas | Ejercicio resuelto #1

Asíntotas de una función | Ejercicio resuelto

Francisco Márquez

Estudié Física en la Universidad y como no tuve bastante después volví a estudiar otra carrera, esta vez Ingeniería Informática. Actualmente trabajo como ingeniero de software y el canal de Youtube físicaymates es mi única reminiscencia de mi época como docente.

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