Derivada de la función potencial exponencial. Fácil y paso a paso

Deja un comentario / Derivadas, Fundamentos Matemáticos, Matemáticas, TURISMO UNED / Por

¿ Cuál es la Función Potencial Exponencial ?

Para aprender a calcular la derivada de la función potencial exponencial lo primero que tenemos que hacer es poder identificarla sin lugar a errores. El error mas común es confundirla con las derivadas de la  función exponencial o  de la función potencial, sin embargo, estas dos son un caso particular de  nuestra derivada de la función potencial exponencial.

El aspecto que tiene la función potencial es el siguiente:

derivada de la funcion potencial exponencial

Como podemos ver se trata de una función  f(x) elevada a otra función  g(x). A continuación te muestro algunos ejemplos de funciones ecponenciales potenciales:

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3
 y=\left(x^2-x+3\right)^{\ln (x)}   y=\sin ^x\left(x^2+1\right)  y=\sqrt[2 x]{x+1}=(x+1)^{\frac{1}{2 x}}

Analicemos cada uno de los tres ejemplos:

En el ejemplo 1) tenemos una función f(x)=\left(x^2-x+3\right) que está elevada a otra función de x : g(x)=\ln (x). Esta claro que se trata de la función potencial exponencial.

En el ejemplo 2) tenemos una función f(x)=\sin\left(x^2+1\right) que está elevada a otra función de x:  g(x)=x. Igual que en el ejemplo anterior está claro que se trata de la función potencial exponencial.

El ejemplo 3) es algo más complejo de ver. Aparentemente no hay ninguna función elevada a otra función. Aquí tenemos que recordar que las raíces no son mas que potencias; os recuerdo la siguiente propiedad de las potencias para que lo veáis más claro:

\sqrt[n]{a^m}=a^{m / n}

Atendiendo a esta propiedad de las potencias podemos transformar la expresión : y=\sqrt[2 x]{x+1}  en la expresión: y=(x+1)^{\frac{1}{2 x}}. Ahora ya es evidente que detrás de esa raíz se escondia una función potencial exponencial como las dos anteriores.



Cómo calcular la derivada de la Función Potencial Exponencial

Con el fin de hacértelo todo los más rápido y sencillo posible te expondré la fórmula de la derivada de la función potencial exponencial y la aplicaremos paso a paso; más adelante te enseñaré de dónde se deduce por si necesitas saberlo o tienes curiosidad. Doy por hecho que sabes hacer la derivada de una función, te dejo el siguiente artículo con las mejores explicaciones para calcular la derivada de una función.

Dada la siguiente función potencial exponencial:

y=(f(x))^{g(x)}

calcularemos la derivada ( y^{\prime})  aplicando la siguiente fórmula:

(1)   \begin{equation*} y^{\prime}=y \cdot\left[g^{\prime} \cdot \ln (f)+g \cdot \frac{f^{\prime}}{f}\right] \end{equation*}

Ejercicios resueltos de cálculo de la derivada de la función potencial exponencial

Vamos a calcular las derivadas de las tres funciones que hemos visto anteriormente aplicando la fórmula (1) de la derivada de la función potencial exponencial que hemos visto anteriormente.

Resolución del ejercicio 1

Tenemos la función a derivar:  y=\left(x^2-x+3\right)^{\ln (x)}

Identificamos las funciones  f(x) y g(x) mirando la fórmula (1) de la derivada exponencial potencial y derivamos después ambas funciones para encontrar f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x)

f(x)=x^2-x+3 \rightarrow f^{\prime}(x)=2 x-1

g(x)=\ln (x) \longrightarrow g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}

Una vez que tenemos f(x) , g(x) , f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x) sustituimos en la fórmula de la derivada de la función exponencial potencial (1). El resultado es el siguiente:

y^{\prime}=\left(x^2-x+3\right)^{\ln (x)}\left(\frac{\ln \left(x^2-x+3\right)}{x}+\frac{(2 x-1) \ln (x)}{x^2-x+3}\right)

Resolución del ejercicio 2

Tenemos la función a derivar:   y=\sin ^x\left(x^2+1\right)

Identificamos las funciones  f(x) y g(x) mirando la fórmula (1) de la derivada exponencial potencial y derivamos después ambas funciones para encontrar f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x)

f(x)=\sin \left(x^2+1\right) \rightarrow f(x)=2 x \cos \left(x^2+1\right)

g(x)=x \longrightarrow g^{\prime}(x)=1

Al igual que en el ejercicio anterior, una vez que tenemos f(x) , g(x) , f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x) sustituimos en la fórmula de la derivada de la función exponencial potencial (1). El resultado es el siguiente:

y^{\prime}=\sin ^x\left(x^2+1\right)\left(\ln \left(\sin \left(x^2+1\right)\right)+\frac{2 x^2 \cos \left(x^2+1\right)}{\sin \left(x^2+1\right)}\right)

Resolución del ejercicio 3

Vamos con el último ejercicio! Seguro que ya vas pillando el ritmo de estas derivadas. Tenemos la función a derivar:  y=\sqrt[2 x]{x+1}=(x+1)^{\frac{1}{2 x}}

Volvemos, como en los dos ejercicios anteriores, a identificar las funciones  f(x) y g(x) mirando la fórmula (1) de la derivada exponencial potencial y derivamos después ambas funciones para encontrar f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x)

f(x)=(x+1) \longrightarrow f^{\prime}(x)=1

g(x)=\frac{1}{2 x} \longrightarrow g^{\prime}(x)=-\frac{1}{2 x^2}

Al igual que en los ejercicios  anteriores, una vez que tenemos f(x) , g(x) , f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x) sustituimos en la fórmula de la derivada de la función exponencial potencial (1). El resultado es el siguiente:

y^{\prime}=\sin ^x\left(x^2+1\right)\left(\ln \left(\sin \left(x^2+1\right)\right)+\frac{2 x^2 \cos \left(x^2+1\right)}{\sin \left(x^2+1\right)}\right)

Como puedes comprobar el procedimiento es bastante sencillo, lo podemos resumir en los siguientes pasos:

  1. Identificamos la función f(x) y g(x)
  2. Calculamos las derivadas de las funciones f(x) y g(x), es decir, calculamos f^{\prime}(x) y g^{\prime}(x)
  3. Aplicamos la fórmula (1)

Ejercicios resueltos paso a paso de cálculo de la derivada de una función potencial exponencial

Aquí te dejo dos clases de mi canal de YouTube Físicaymates donde calculo más derivadas de funciones potencial exponencial.

 

 

 

 


Vistas: 43

Entradas relacionadas

Deja un comentario