El Teorema de la Probabilidad Total | Guía Fácil y Ejercicios Resueltos

El Teorema de la probabilidad total es una de las herramientas más fundamentales en la teoría de probabilidades. Nos permite calcular la probabilidad de un evento descomponiéndolo en varios casos mutuamente excluyentes. Este método es especialmente útil cuando un problema puede dividirse en diferentes escenarios que cubren todas las posibilidades posibles, ayudándonos a simplificar cálculos complejos.

En términos simples, el teorema nos da una manera organizada de sumar las probabilidades de los diferentes caminos que pueden llevar a la ocurrencia de un evento. Aunque puede parecer abstracto al principio, es sorprendentemente práctico en diversas situaciones, desde análisis estadístico hasta inteligencia artificial. Además, la clave para dominar este teorema está en la práctica, como veremos a lo largo de este artículo.

El Teorema de la probabilidad total también tiene una relación muy estrecha con el Teorema de Bayes, que abordaremos más adelante. A lo largo del artículo, verás cómo ambos teoremas se complementan, permitiendo resolver problemas más complejos de probabilidades condicionales.

¿Qué es el Teorema de la probabilidad total?

El Teorema de la probabilidad total nos proporciona una fórmula para calcular la probabilidad de un evento a partir de la suma de sus posibles causas. En su forma más básica, el teorema establece que si tenemos varios eventos que son mutuamente excluyentes y cubren todos los posibles escenarios, podemos expresar la probabilidad de un evento de la siguiente manera:

Aquí,  es la probabilidad condicional de que ocurra el evento dado que ha ocurrido el evento , y es la probabilidad de que ocurra ​. Este teorema es particularmente útil cuando no podemos calcular directamente la probabilidad de , pero conocemos las probabilidades condicionales de en diferentes escenarios.

Un ejemplo básico

Supongamos que una tienda de electrónica recibe 3 tipos de productos de diferentes proveedores. El 50% de los productos vienen del Proveedor 1, el 30% del Proveedor 2, y el 20% del Proveedor 3. Sabemos también que el 5% de los productos del Proveedor 1 son defectuosos, el 10% de los del Proveedor 2 tienen defectos, y el 15% de los del Proveedor 3 también presentan defectos. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto seleccionado al azar de la tienda sea defectuoso?

En este caso, el evento es que el producto sea defectuoso, y los eventos ​ corresponden a los diferentes proveedores. Usando el teorema, podemos descomponer el problema y calcular la probabilidad total de que un producto sea defectuoso sumando las probabilidades de cada escenario.

Así, la probabilidad de que un producto seleccionado al azar sea defectuoso es del 8.5%.

La fórmula del Teorema de la probabilidad total

La fórmula del Teorema de la probabilidad total es bastante intuitiva cuando entendemos que lo que estamos haciendo es sumar las contribuciones de diferentes eventos mutuamente excluyentes. Cada uno de estos eventos posibles tiene una probabilidad asociada, y la fórmula nos permite combinarlas de manera organizada.

Matemáticamente, el teorema se expresa así:

Esto significa que para calcular la probabilidad total de un evento , primero descomponemos todos los posibles escenarios o “caminos” que podrían llevar a , y luego calculamos la probabilidad condicional de que ocurra en cada uno de esos escenarios, multiplicando por la probabilidad de cada escenario ​.

Uno de los beneficios de esta fórmula es que nos permite descomponer problemas complejos en componentes más manejables. En lugar de intentar calcular  directamente, podemos trabajar en pasos más simples, lo que facilita la organización de los cálculos.

Aplicaciones y ejercicios resueltos del Teorema de la probabilidad total

El Teorema de la probabilidad total se aplica en una amplia gama de problemas, desde la predicción de eventos en sistemas complejos hasta el análisis de datos en el mundo real. A continuación, se presentan varios ejemplos para ilustrar su utilidad, junto con el uso de diagramas de árbol, una herramienta visual que hace más claro el enfoque.

Ejercicio resuelto 1

Imagina que en un examen, los estudiantes pueden elegir responder una de tres preguntas: la pregunta 1 (40% de los estudiantes la eligen), la pregunta 2 (35%) o la pregunta 3 (25%). La probabilidad de responder correctamente a cada pregunta es del 70%, 80% y 90%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante responda correctamente al azar?

Paso 1: Identificar las probabilidades

(probabilidad de elegir la pregunta 1 ).
(probabilidad de elegir la pregunta 2).
(probabilidad de elegir la pregunta 3 ).
Correcto (probabilidad de responder correctamente la pregunta 1).
Correcto (probabilidad de responder correctamente la pregunta 2).
Correcto (probabilidad de responder correctamente la pregunta 3).

Paso 2: Aplicar la fórmula del Teorema de la probabilidad total

Uso del diagrama de árbol

Para resolver este ejercicio, puedes utilizar un diagrama de árbol o diagrama tipo árbol que muestre las tres posibles preguntas y los resultados de cada una (correcto o incorrecto). Los diagramas ayudan a visualizar los caminos posibles y a descomponer el problema en partes más pequeñas, haciéndolo más manejable. En la siguiente imagen os muestro el diagrama tipo árbol del ejercicio resuelto 1. A la hora de hacer estos diagramas debéis seguir una serie de reglas o pautas que os serán muy útiles para llegar al diagrama correcto.

 

• La suma de las probabilidades que salen de cada nodo deben sumar 1. Cada nodo es un punto desde el que salen las flechas. Del nodo estudiante (cuadrado amarillo) salen tres flechas, cada una con una probabilidad, la suma de todas ellas es 1. Igualmente de los nodos rojos, la suma de las probabilidades de las flechas que salen deben sumar 1.
• Escribe las probabilidades en tantos por 1 y no en tanto por ciento. Una probabilidad del 80% la escribiremos en el diagrama tipo árbol como 0,8.
• En el diagrama tipo árbol también llamado árbol de decisión, de izquierda a dercha hay un orden cronológico. Primero van los nudos rojos de las preguntas y porteriormente los nodos finales, llamados hojas, que son las posibles respuestas. No tendria sentido que estuviesen primero las respuestas y posteriormente las preguntas.

A la hora de calcular en el ejercicio resuelto 1 con el diagrama tipo árbol es muy fácil aplicar el Teorema de la Probabilidad Total. Nos preguntan la probabilidad de responder correctamente a cualquier pregunta, por lo tanto tenemos las opciones que vemos en el diagrama siguiente marcados con la línea azul.

Ahora la será la sumas de las tres trayectorias que por las ramas (flechas del diagrama tipo árbol) llegan al suceso “Correcto”. La probabilidad de la trayectoria superior sería Correcto , la de la trayectoria de en medio sería: Correcto y finalmente la de la trayectoria de abajo sería: Correcto .

La suma de las tres:

Correcto Correcto Correcto Correcto

que si os fijais es el resultado de aplicar el Teorema de la Probabilidad total. La probabilidad de cada una de esas trayectorias azules es el producto de los valores de las probabilidades de las ramas por las que “circulas” hasta llegar a “Correcto”, por ejemplo para la primera rama al circular hasta llegar a correcto pasamos por las ramas de probabilidades y la de por tanto la probabilidad de esa primera trayectoria sería . Y así hacemos con todas las ramas.

Ejercicio resuelto 2

En un almacén, 3 máquinas producen diferentes porcentajes de piezas. La máquina 1 produce el 30%, la máquina 2 el 50% y la máquina 3 el 20%. La probabilidad de que una pieza salga defectuosa de cada máquina es del 1%, 3% y 5%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea defectuosa?

Paso 1: Identificar las probabilidades

(probabilidad de que la pieza venga de la Máquina 1 ).
(probabilidad de que la pieza venga de la Máquina 2).
(probabilidad de que la pieza venga de la Máquina 3).

(probabilidad de que una pieza de la Máquina 1 sea defectuosa).
(probabilidad de que una pieza de la Máquina 2 sea defectuosa).
(probabilidad de que una pieza de la Máquina 3 sea defectuosa).

Queremos calcular la probabilidad total de que una pieza seleccionada al azar sea defectuosa, es decir,

Paso 2: Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total

El Teorema de la Probabilidad Total nos dice que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es la suma de las probabilidades de que sea defectuosa para cada una de las máquinas, ponderada por la probabilidad de que la pieza venga de esa máquina. La fórmula es:

Obteniendo finalmente:

En términos porcentuales, esto significa que la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es del 2.8%.

Relación entre el Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes

El Teorema de la Probabilidad Total y el Teorema de Bayes están profundamente conectados, ya que ambos teoremas trabajan con probabilidades condicionadas y ofrecen herramientas esenciales para actualizar o calcular probabilidades en distintos contextos.

El Teorema de la Probabilidad Total se utiliza cuando queremos calcular la probabilidad de un evento que puede suceder a través de diferentes “caminos” o “escenarios” posibles, cada uno de los cuales tiene una probabilidad asociada. La probabilidad total del evento se obtiene sumando las probabilidades de estos distintos caminos.

Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que un producto sea defectuoso en un sistema con varias máquinas, cada una con una probabilidad distinta de producir defectos, podemos usar el Teorema de la Probabilidad Total para combinar todas esas probabilidades condicionadas.

Matemáticamente, el Teorema de la Probabilidad Total se expresa como:

donde:

es la probabilidad total del evento ,
son escenarios mutuamente excluyentes (como diferentes máquinas o eventos posibles),
es la probabilidad de dado que ocurre
es la probabilidad de cada escenario .

El Teorema de Bayes se utiliza para actualizar una probabilidad cuando se dispone de nueva información. Nos ayuda a calcular la probabilidad de un evento , dado que ha ocurrido otro evento , usando las probabilidades de los eventos previos y las probabilidades condicionadas.

La fórmula del Teorema de Bayes es:

donde:

es la probabilidad de que ocurra dado que ocurrió (esta es la probabilidad que queremos calcular),
es la probabilidad de dado que ha ocurrido,
es la probabilidad previa de que ocurra (antes de tener la información ),
es la probabilidad total de , que se puede calcular usando el Teorema de la Probabilidad Total.

La conexión: P(B) se obtiene usando el Teorema de la Probabilidad Total

Una de las conexiones más importantes entre estos dos teoremas es que, para aplicar el Teorema de Bayes, necesitamos conocer , la probabilidad total del evento . En muchos casos, esta probabilidad total no es conocida de manera directa, pero puede ser calculada usando el Teorema de la Probabilidad Total.

Veamos cómo ocurre esto:

Si puede ocurrir de varias formas distintas, es decir, a través de varios caminos , entonces se puede descomponer utilizando el Teorema de la Probabilidad Total.

   

De esta manera, calculamos sumando las probabilidades condicionadas de en todos los escenarios posibles.

Conclusión de la relación

El Teorema de Bayes depende del Teorema de la Probabilidad Total cuando necesitamos calcular una probabilidad total involucrada en el proceso. Ambos teoremas trabajan con probabilidades condicionadas y son herramientas fundamentales para el análisis de incertidumbre y la toma de decisiones basadas en nueva información.

En resumen:

• Teorema de la Probabilidad Total: Calcula probabilidades totales descomponiendo un evento en múltiples escenarios.
• Teorema de Bayes: Actualiza probabilidades con nueva información, usando frecuentemente el resultado del Teorema de la Probabilidad Total para los cálculos.