Derivadas

Significado de las derivadas

Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos.  Las derivadas se usan para el cálculo de velocidades, aceleraciones, optimizar funciones, y una infinidad más de utilidades. Nos vamos a centrar en este texto simplemente en el cálculo de la derivada de una función y las reglas de derivación existentes para ello, quedándonos por ahora con la idea que hemos mencionado al principio. En temas posteriores las desarrollaremos.

Definición de derivadas

La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x, en el punto x=a es:

f'\left( a\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}

si este límite existe.

Una definición equivalente de la derivada es también la siguiente:

f'\left( a\right) =\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}

¿Cómo se escriben las derivadas de las funciones?

La forma de escribir correctamente la derivada de una función es la siguiente:

\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}y\left( x\right) =Df_{x}\left( x\right)

en esta expresión queda perfectamente patente que estamos derivando la función f(x) respecto a la variable x. Cualquiera de las tres expresiones de la derivada con respecto a x es totalmente correcta. La función a derivar suele llamarse normalmente f(x) ó y(x). Sin embargo, es muy frecuente encontrar la siguiente notación o forma de escribir las derivadas:

y'\left( x\right) =f'\left( x\right)

Ambas expresiones de la derivada son correctas y si bien la fórmula 4 es la más utilizada por su sencillez, no queda reflejada respecto a qué variable se deriva, aunque está implícito. Para terminar, diremos que ambas notaciones son correctas y que se usan indistintamente en la bibliografía existente, pudiendo afirmar que:

f'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {df\left( x\right) }{dx}

lo que es equivalente a la siguiente expresión dependiendo de cómo se llame la función f(x) ó y(x):

  y'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}y\left( x\right) =\dfrac {dy\left( x\right) }{dx}

Cálculo de las derivadas a partir de la definición

El proceso de cálculo de la derivada de una función se llama diferenciación. Siempre se deriva o diferencia, se usa mayoritariamente la primera palabra, respecto a una variable, normalmente  x, de forma genérica y una vez que hemos obtenido la derivada sustituimos en la x el punto donde queremos calcular la derivada, particularizando así el valor de ésta. La forma de calcular la derivada usando la definición consiste en aplicar la fórmula de la definición. En el siguiente vídeo os explico un ejercicio práctico en el que calculamos el valor en un punto de la derivada de una función usando su definición mediante el límite.

Cálculo de las derivadas de las funciones

Nunca se usa la definición de la derivada de una función para calcular su función derivada ya que es un proceso largo y demasiado complejo, máxime cuando existe otro método mucho más rápido y sobre todo menos propenso a cometer errores. Sin embargo, en algunos exámenes suele preguntarse al alumno que calcule la derivada de una función mediante la aplicación de la definición para que el alumno demuestre que tiene destreza calculando el límite de la función que es necesario.

Para calcular la derivada de una función vamos a usar la Tabla de derivadas o Tabla de fórmulas de derivadas junto con las reglas de derivación. Estas fórmulas no aparecen por arte de magia, sino que se infieren mediante un proceso de inducción que consiste en derivar aplicando la definición de derivada a funciones genéricas para así obtener una regla que permita derivarla.

Reglas de derivación

Sean  f(x)  y  g(x)  dos funciones que vamos a denotar por  f  y  g .

Derivada de la suma/resta de dos funciones

 \left( f\pm g\right) '=f'\pm g' La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones.

Derivada del producto de dos funciones

 \left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g' La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada.

Derivada del cociente de dos funciones

\left( \dfrac {f}{g}\right) ^{'}=\dfrac {f'\cdot g-f\cdot g'}{\left( g\right) ^{2}} La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado.

Derivada del producto de una constante a por una función

\left( a\cdot f\right) '=a\cdot f' La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar.

Regla de la cadena

Permite derivar una función que es composición de varias funciones. Matemáticamente se expresa por:

\left[ g\left( f\left( x\right) \right) \right] '=g'\left( f\left( x\right) \right) \cdot f'\left( x\right)

Esto se entenderá perfectamente cuando resolvamos ejercicios.

Tabla de derivadas. Fórmulas de derivadas o formulario de derivadas

La tabla de derivadas contiene las fórmulas de las derivadas para todos los tipos de funciones más frecuentes. Para poder usarla sólo hay que identificar la función que queremos derivar y aplicar la correspondiente fórmula.

 

Derivada de una constante

f\left( x\right) =k f'\left( x\right) =0

Derivada de una función elevada a una constante

y=\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}

y'=n\cdot f'\left( x\right) \cdot \left[ f\left( x\right) \right] ^{n-1}

Derivada función exponencial neperiana

y=e^{f\left( x\right) } y'=f'\left( x\right) e^{f\left( x\right) }

Derivada función exponencial

y=a^{\left( f\left( x\right) \right) } y'=f'\left( x\right) a^{\left( f\left( x\right) \right) }\ln a

Derivada función logarítmica

y=\ln f\left( x\right) y'=\dfrac {f'\left( x\right) }{f\left( x\right) }

Derivada función seno

y=\sin \left( f\left( x\right) \right) y'=f'\left( x\right) \cos \left( f\left( x\right) \right)

Derivada función coseno

y=\cos \left( f\left( x\right) \right) y'=-f'\left( x\right) \sin \left( f\left( x\right) \right)

Derivada función tangente

y=\tan \left( f\left( x\right) \right) y'=\dfrac {f\left( x\right) }{\cos ^{2}f\left( x\right) }

Derivada función potencial exponencial

y=\left( f\left( x\right) \right) ^{g\left( x\right) } y'=y\left[ g'\ln \left( f\right) +g\dfrac {f'}{f}\right]

 

Ejercicios resueltos paso a paso de derivadas. Regla de la cadena.

Aprender a derivar funciones es sinónimo de hacer muchos ejercicios de derivadas, cuantos más ejercicios de derivadas resuelvas más rápido vas a aprender a derivar. En los siguientes vídeos de derivadas explico paso a paso cómo aplicar las reglas de derivación, las fórmulas que nos permiten encontrar la derivada de una función, y después hago muchos ejercicios aplicando esa fórmula. Suscríbete al este canal de YouTube para estar al corriente de los nuevos vídeos que se van publicando.

 

Ejercicios resueltos de exámenes de derivadas. Regla de la cadena.

Ejercicios de derivadas resueltos paso a paso usando las fórmulas de la tabla de derivadas. Los ejercicios de derivadas se resuelven de forma fácil y sencilla para el alumno a fin de que pueda seguir la vídeoclase sin quedarse atrás.

38 Comments

  1. Avatar Rei 19 octubre, 2018
  2. Avatar tabla de derivadas 3 mayo, 2018
    • Francisco Márquez Francisco Márquez 10 mayo, 2018
  3. Avatar luis 19 febrero, 2018
  4. Avatar Jeff Vargas 28 enero, 2018
  5. Avatar Johana Cabrera 12 enero, 2018
    • Francisco Márquez Francisco Márquez 13 enero, 2018
  6. Avatar Graciela Aleman 7 enero, 2018
  7. Avatar Franco Damián 31 diciembre, 2017
  8. Avatar Vir 27 diciembre, 2017
  9. Avatar Vir 22 diciembre, 2017
  10. Avatar Shantal 14 noviembre, 2017
  11. Avatar Alfredo Gutierrez 24 octubre, 2017
  12. Avatar Jua Larrain 22 octubre, 2017
  13. Avatar Karla 9 octubre, 2017
  14. Avatar fares 23 septiembre, 2017
  15. Avatar ARLY 10 agosto, 2017
  16. Avatar Manuel 8 agosto, 2017
  17. Avatar Marcela 14 septiembre, 2016
    • Francisco Márquez fran 15 septiembre, 2016
  18. Avatar Walter 10 junio, 2016
    • Francisco Márquez fran 12 junio, 2016
  19. Avatar CRISTINA MARTINEZ 16 marzo, 2016
    • Francisco Márquez fran 6 abril, 2016
  20. Avatar Sandra Martinez 11 diciembre, 2015
    • Francisco Márquez fran 13 diciembre, 2015
  21. Avatar Cristian 6 agosto, 2015
  22. Avatar cojolum 25 mayo, 2015
    • Francisco Márquez fran 29 mayo, 2015

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